高考数学《坐标系与参数方程》专项练习(含答案)

1《坐标系与参数方程》专项练习一、知识梳理．1．极坐标与直角坐标的互化．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：（1）sincosyx，（2）xyyxtan2222．参数方程)()(tgytfx(t为参数)化为普通方程的常用方法．（1）代入法/加减法消参．（2）借助三角恒等式sin2θ＋cos2θ＝1（θ为参数）消参．3．直角坐标方程，极坐标方程和参数方程的转化关系．极坐标方程(ρ，θ)⇔直角坐标方程(普通方程)(x，y)⇔参数方程(t为参数)二、练习专项．【题型1】①极坐标方程⇔直角坐标方程．②参数方程⇔直角坐标方程．1．（2016全国Ⅲ卷，文科23，10分）在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为sincos3yx（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ＋4)＝22．（Ⅰ）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P在C1上，点Q在C2上，求∣PQ∣的最小值及此时P的直角坐标．解：（Ⅰ）由sincos3yx消去参数α得……………………1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得sincos3yx两边平方，得②sin①cos32222yx①＋②，得32x＋y2＝1C1的普通方程为32x＋y2＝1……………………2分∵ρsin(θ＋4)＝22∴ρ(sinθcos4＋cosθsin4)＝22……………………3分ρ(22sinθ＋22cosθ)＝2222ρsinθ＋22ρcosθ＝22ρsinθ＋ρcosθ＝4……………………4分∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y∴x＋y＝4……………………5分yxyAMθρxO2（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)……………………6分∵C2是直线∴||PQ的最小值即为P到C2的距离()d的最小值|3cossin4|()2|sin()2|32d………………8分当且仅当2()6kkZ时，()d取得最小值，最小值为2………………9分此时P的直角坐标为31(,)22………………10分2．（2009全国卷，文/理23，10分）已知曲线C1：tytxsin3cos4（t为参数），C2：sin3cos8yx（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t＝2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：tytx223（t为参数）距离的最小值．解：（Ⅰ）由C1：tytxsin3cos4消去参数t得……………………1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得tytxsin3cos4两边平方，得②sin)3(①cos)4(222tytx①＋②，得(x＋4)2＋(y－3)2＝1∴C1的普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1……………………2分∴C1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆由C2：sin3cos8yx消去参数θ得……………………1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得sin3cos8yx两边平方，得②　sin9①cos642222yx①＋②，得642x＋92y＝1∴C2的普通方程为642x＋92y＝1……………………2分∴C2为焦点在x轴上的椭圆（Ⅱ）当2t时，(4,4)P，(8cos,3sin)Q故3(24cos,2sin)2M3C为直线270xyM到3C的距离5|4cos3sin13|5d3从而当43cos,sin55时，d取得最小值855【题型2】①直角坐标方程⇔极坐标方程．②直角坐标方程⇔参数方程．3．（2016全国Ⅱ卷，文科23，10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是sincostytx(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10．求l的斜率．解：（Ⅰ）由圆C的方程25622yx可得……………………1分x2＋12x＋36＋y2＝25x2＋y2＋12x＋11＝0……………………2分把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式得……………………3分ρ2＋12ρcosθ＋11＝0……………………4分∴圆C的极坐标方程为ρ2＋12cosθ＋11＝0……………………5分（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)由A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2……………………8分将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0……………………7分于是121212cos,11,22121212||||()4144cos44,AB……………………8分由|AB|＝10得2315cos,tan83……………………9分∴l的斜率为153或153……………………10分4．（2015全国Ⅰ卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解：（Ⅰ）把x＝ρcosθ代入C1：x＝－2得ρcosθ＝－2……………………1分∴C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2………………2分由C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1得(x2－2x＋1)＋(y2－4y＋4)＝1x2＋y2－2x－4y＋1＋4＝1x2＋y2－2x－4y＋4＝0………………3分把ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式得………………4分C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0………………5分（Ⅱ）将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3√2ρ＋4＝0………………6分解得ρ1＝2√2，ρ2＝√2………………7分故ρ1－ρ2＝√2，即|MN|＝√2………………8分由于C2的半径为14∴△C2MN的面积为12………………10分5．（2014全国Ⅰ卷，文/理23，10分）已知曲线C：19422yx，直线l：tytx222(t为参数)．（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解：（Ⅰ）∵曲线C：𝑥24＋𝑦29＝1∴1)3()2(22yx又∵sin2θ＋cos2θ＝1∴2x＝cosθ，3y＝sinθ∴x＝2cosθ，y＝3sinθ曲线C的参数方程为sin3cos2yx(θ为参数)．由直线l：{𝑥＝2＋𝑡𝑦＝2－2𝑡消去参数t得（此处为消参的计算过程，可省略）{𝑥＝2＋𝑡①𝑦＝2－2𝑡②由①得t＝x－2③把③代入②，得y＝2－2(x－2)整理得2x＋y－6＝0直线l的普通方程为2x＋y－6＝0．（Ⅱ）曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝√55|4cosθ＋3sinθ－6|则|PA|＝𝑑sin30°＝2√55|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为22√55当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为2√556．（2014全国Ⅱ卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，2]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．解：（Ⅰ）∵ρ＝2cosθ∴ρ2＝2ρcosθ把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式得x2＋y2＝2x∴C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)∴半圆C的圆心为(1，0)，半径为15可得C的参数方程为{𝑥＝1＋cos𝑡𝑦＝sin𝑡(t为参数，0≤t≤π)（Ⅱ）设D(1＋cost，sint)由(Ⅰ)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆∵C在点D处的切线与l垂直∴直线GD与l的斜率相同．tant＝√3，t＝π3故D的直角坐标为(1＋cosπ3，sinπ3)，即(32，√32)【题型3】极坐标方程⇔参数方程．7．（2016全国Ⅰ卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为taytaxsin1cos（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．解：（Ⅰ）解法一：C1是圆的方程…………1分由taytaxsin1cos消去参数t得…………2分（此处为消参的计算过程，可省略）移项，得taytaxsin1cos两边平方，得2222)sin()1()cos(taytax即②sin)1(①cos222222taytax①＋②，得x2＋(y－1)2＝a2cos2t＋a2sin2tx2＋(y－1)2＝a2(cos2t＋sin2t)x2＋(y－1)2＝a22221xya①整理得222210xyya…………3分∴把222sinxyy，代入上式得…………4分222sin10a∴1C的极坐标方程为222sin10a…………5分（Ⅱ）由C2：ρ＝4cosθ得两边同乘ρ得ρ2＝4ρcosθ∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x224xyx…………6分即2224xy②…………7分C3：化为普通方程为2yx…………8分由题意：1C和2C的公共方程所在直线即为3C①－②得：24210xya，即为3C…………9分∴210a∴1a…………10分8．（2013全国Ⅰ卷，文/理23，10分）已知曲线C1的参数方程为tytxsin55cos54(t为参数)，以坐6标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．解：（Ⅰ）将tytxsin55cos54消去参数t得C1的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0将sincosyx代入上式得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0∴C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0（Ⅱ）∵C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ∴C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0由②02①0161082222yyxyxyx（此处为解方程的过程，可省略）②－①，得8x＋8y－16＝0整理，得y＝2－x③把③代入②，得x2＋(2－x)2－2(2－x)＝0整理，得x2－x＝0(特别注意，x是未知数，不能约去的)提取x，得x(x－1)＝0∴x＝0或x－1＝0解得x＝0或x＝1把x＝0代入③，得y＝2把x＝1代入③，得y＝1解得20yx或11yxC1与C2交点的直角坐标分别为(0，2)，(1，1)对于点(0，2)有：ρ＝22yx＝2220＝2，θ＝2对于点(1，1)有：ρ＝22yx＝2211