山东省德州市中考数学复习图形的认识与三角形第14讲三角形与全等三角形课件

点拨►三角形具有稳定性，在生活中应用广泛；四边形不具有稳定性．把多边形分成多个三角形后，多边形形状固定．考点三角形中的重要线段6年2考有关定理及结论高三角形的三条高相交于一点．锐角三角形的三条高都在三角形内；钝角三角形中夹钝角的两边上的高在三角形外，另一条高在三角形内；直角三角形两条高为两条直角边，斜边上的高在三角形内中线三角形三条中线相交于一点，交点叫做①，都在三角形内；三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积②的三角形角平分线三角形的三条角平分线相交于一点，交点叫做③，都在三角形内中位线三角形的中位线④第三边，且等于第三边的⑤。重心相等内心平行于一半考点三角形的边角关系1．三角形的三边关系：三角形任意两边之和①第三边；任意两边之差②第三边．2．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于③.3．三角形内角和定理的推论(1)三角形的外角④与它不相邻的两个内角的和；(2)三角形的一个外角⑤与它不相邻的任意一个内角；(3)三角形的外角和等于⑥；(4)直角三角形的两个锐角⑦，有两个角互余的三角形是直角三角形；(5)一个三角形的三个内角中至少有⑧锐角．大于小于180°等于大于360°互余两个考点全等三角形6年5考1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边①；对应角②；对应边上的③相等；对应的④相等；周长⑤；面积⑥．相等相等高、中线角平分线相等相等2．全等三角形的判定(1)一般三角形的全等判定：“⑦”或“SAS”；“⑧”或“ASA”；“⑨”或“AAS”；“⑩”或“SSS”．(2)直角三角形的全等判定：“⑪”或“HL”.边角边角边角斜边、直角边角角边边边边考情分析►考查三角形的基础概念及单纯地考查三角形全等的几率较低，常常通过与等腰三角形、直角三角形以及四边形等的综合，以选择题或填空题的压轴题的命题形式出现．预测►结合一元二次方程考查三角形三边关系，结合平行线考查三角形内角和定理，综合在其他几何图形中考查．命题点三角形中的重要线段1．[2017·德州，T12，3分]观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3，…)，则图6中挖去三角形的个数为()A．121B．362C．364D．729C2．[2015·德州，T11，3分]如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是()A．②③B．②④C．①③④D．②③④D命题点全等三角形3．[2018·德州，T12，4分]如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6.上述结论正确的个数是()A．1B．2C．3D．4C4334．[2016·德州，T12，3分]在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC(或它们的延长线)于点M，N，设∠AEM＝α(0°α90°)，给出下列四个结论：①AM＝CN；②∠AME＝∠BNE；③BN－AM＝2；④S△EMN＝.上述结论中正确的个数是()A．1B．2C．3D．422cosC5．[2013·德州，T17，4分]如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上．下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋.其中正确的序号是．(把你认为正确的都填上)3①②④6．[2014·德州，T23，10分]关联考题见第14讲“过重点”T10.7．[2013·德州，T23，10分](1)如图1，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE＝CD；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)图1图2图3(2)如图2，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长．解：(1)作图如图1所示．证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°.∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB.在△CAD和△EAB中，∴△CAD≌△EAB(SAS)．∴CD＝EB.(2)BE＝CD.理由：∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°.∴∠BAD＋BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB.图1∴△CAD≌△EAB(SAS)．∴CD＝EB.(3)由(1)(2)的解题经验可知，过点A作等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，如图3所示．则AD＝AB＝100米，∠ABD＝45°.连接CD，则由(2)可得BE＝CD.∴BD＝100米．∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝90°.在Rt△DBC中，BC＝100米，BD＝100米，根据勾股定理，得22图3类型三角形的三边关系1．[2018·毕节]已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是()A．4B．6C．8D．10C2．[2018·酒泉]已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a－7|＋(b－1)2＝0，c为奇数，则c＝．7解题要领：①已知三角形的三边，判断其能否组成三角形时，可以通过较小两边的和大于较大的边判断；②已知三角形的两边求第三边的取值范围时，可以通过第三边大于其他两边的差且小于这两边的和求解．类型三角形的重要线段3．[2018·吉林]如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN.若AB＝9，BC＝6，则△DNB的周长为()A．12B．13C．14D．15A4．[2018·贵阳]如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是()A．线段DEB．线段BEC．线段EFD．线段FGB解题要领：①三角形的三条高一定相交于一点，交点的位置在锐角三角形内部，在钝角三角形的外部，在直角三角形的顶点上；②三角形的中线一定相交于三角形内部的一点，每一条中线都等分三角形的面积．类型三角形内角和定理5．[2018·黄石]如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝()A．75°B．80°C．85°D．90°A6．[2018·宜昌]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．解题要领：①三角形的三条高一定相交于一点，交点的位置在锐角三角形内部，在钝角三角形的外部，在直角三角形的顶点上；②三角形的中线一定相交于三角形内部的一点，每一条中线都等分三角形的面积．(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°－∠A＝50°，∴∠CBD＝130°.∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°.(2)∵∠ACB＝90°，∴∠CEB＝90°－65°＝25°.∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°.12解题要领：①灵活运用三角形外角和定理；②已知三角形角的数量关系求角度时，可以建立方程求解．类型全等三角形的判定7．[2018·临沂]如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E.AD＝3，BE＝1，则DE的长是()B8．[2018·济宁]在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件，使△BED与△FDE全等．D是BC的中点(答案不唯一)9．[2018·怀化]已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB＝CD，∠B＝∠D.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG＝5，求AB的长．解题要领：①探求两个三角形全等的条件：SSS，SAS，ASA，AAS及HL，注意挖掘问题中的隐含等量关系，防止误用“SSA”；②掌握并记忆一些基本构成图形中的等量关系；③把握问题中的关键，通过关键条件，发现并添加辅助线．类型全等三角形的综合运用10．[2014·德州]问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法：延长FD到点G.使DG＝BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/12小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．解：问题背景：EF＝BE＋FD.探索延伸：EF＝BE＋FD成立．理由：如图2，延长FD到点G，使得DG＝BE，连接AG.∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C.在四边形AOBC中，∵∠AOB＝30°＋90°＋(90°－70°)＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB.又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝(90°－30°)＋(70°＋50°)＝60°＋120°＝180°，∴图3符合探索延伸的条件．∴EF＝AE＋FB＝1.5×(60＋80)＝210(海里)，即此时两舰艇之间的距离210海里．