因式分解掌握方法与技巧

因式分解一、因式分解的技巧：1.首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提取公因式，再考虑其他方法。2.当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。（1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式［a2－b2＝（a＋b）（a－b）］。（2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。（3）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。a.当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。b.当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组。3.以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后再分解。二.因式分解的方法：（一）提公因式法方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1.分析：此多项式各项都有公因式x，因此可提取公因式x。解：（二）应用公式法方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。例2.分析：此多项式可看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。解：例3.分析：此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公式分解。解：（三）分组分解法方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的目的。下面介绍八种常见的思路：1.按公因式分组：例4.分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第1、2项有公因式m，第3、4项有公因式p，可将它们分别分为一组。解：2.按系数特点分组：例5.分析：由观察发现，由系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1：2，所以可考虑将第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。解：3.按字母次数特点分组：例6.分析：此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组。解：4.按公式特点分组：例7.分析：此题可将第2、3、4项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上运用平方差公式。解：5.拆项分组：例8.分析：为了便于运用乘法公式，可将-3拆成-4＋1，再适当分组，达到因式分解的目的。解：6.添项分组：例9.分析：解：7.换元分组：例10.分析：观察代数式中的x＋y，xy可考虑用换元法，使之结构简化，再分组。解：，则8.按主元分组：例11.分析：题中的多项式是关于x的三项式排列的，按其结构分解有一定的难度，可考虑换个角度，选定a为主元，即整理为关于a的多项式。解：（四）利用特殊值法方法介绍：比如说将2或10这些特殊值代入字母，比如说x，求出一个数P，然后将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因式写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即可得因式分解的式子。例12.解：令x＝2，则将105分解成3个质因数的积，即105＝3×5×7观察到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x＋1，x＋3，x＋5，在x＝2时的值，则原式＝（x＋1）（x＋3）（x＋5）（五）待定系数法方法介绍：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例13.分析：观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：利用恒等式的性质可得：（六）十字相乘法：方法介绍：对于mx2＋px＋q形式的多项式，如果ab＝m，cd＝q且ac＋bd＝p，则多项式可因式分解为：（ax＋d）（bx＋c）。例14.分析：这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分解因式：解：（七）双十字相乘法：方法介绍：可将其中的可用十字相乘法的三项放在一起，先分解因式后，然后再与剩下的项再用十字相乘法。例15.分析：可先将其先去括号后的项6a2＋11ab＋3b2应用十字相乘法可分为（2a＋3b）（3a＋b）。解：（八）巧用换元法：方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次，化繁为简的目的。1.取相同部分换元例16.分析：若将上式展开，得到一个四次多项式，更加难分解了，如将m2－5m看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。解：2.取部分式子换元例17.分析：观察题目特点，可考虑设1＋x＋x2＝y。解：3.取倒数换元例18.解：以上我介绍了八种方法，除了这些方法外，还有求根法、图像法、配方法等，因为这些知识将在九年级的学习中将会学到，所以以后将继续介绍这些方法。三、分解因式：（30分）1、234352xxx2、2633xx3、22)2(4)2(25xyyx4、22414yxyx5、xx56、13x7、2axabaxbxbx28、811824xx9、24369yx10、24)4)(3)(2)(1(xxxx(1)(x＋p)2－(x＋q)2；(2)16(a－b)2－9(a＋b)2；(3)x2－6x＋9；(4)16x2＋24x＋9；(5)25x4＋10x2＋1；(6)4(x＋p)2＋12(x＋p)(x＋q)＋9(x＋q)2；1.211122xx2.6752xx3.2152xx4.42562xx5.4254xx6.42552xx7.3072xx8.253092xx9.61972xx10.209202xx11.939362xx12.435924xx13.437924xx14.2222021417yyxx15.123222yyxxyxy16.cabcbabca32232092017.121233xxxx18.baaba242319.22221baba20yzyzyx2221.234bayxyx22.123aabba23.xxxx21213324.36492222yxyx25.22822baba26.2222zyzyx27.42242bbaa28.221yxxy29.acbcabcba22222230.14442baba31.2222zyzyx32.122baaba33.222cbacbcab34.baaxb22235.12222yxxyx36.12222yxyxyxy37.abxybayx244222238.49142xx39.1692xx40.1216692xx41.xx12136242.2216249baba43.2941542251yxyx44.42216249yxyx45.42242bbaa46.2521022baba47.2294249xxbaba48.aaa51052349.812x50.49162x51.22254ba52.2241yx53.2182x54.xx416355.2224baa56.23216yx57.223412xx58.25242yx59.814x60.121652xx61.1529122xx62.22122512yxyx63.22164220baba64.2218310yxyx65.741122xyyx66.2568xx67.209202xx68.cabcbabca32238221569.222yyxyxx70.123222yyxxyxy71.2634422yxyxyx72.20383222xxxx73.8258522xxxx74.22237775xxxxx75.241423xxxx76.2312642xxxxx77.79122xx78.367424xx79.152222baba80.15223222xyyx81.4212aaa82.xxx98293583.6331922xxxxx84.2222232yxyx