概率论与数理统计第5章作业题解

第五章作业题解5.1已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300,标准差是700.使用切比雪夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率.解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，7300)(XE，700)(XVar由切比雪夫不等式，得)2100|7300(|)94005200(XPXP982100700112222.5.2设随机变量X服从参数为的泊松分布,使用切比雪夫不等式证明1{02}PX.解：因为)(~PX，所以)(XE。)(2XVar故由切比雪夫不等式，得)|(|)20(XPXP111222不等式得证.5.3设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量,期望是10千克,方差是0.1千克2.求100袋这种大米的总重量在990至1010千克之间的概率.解：设第i袋大米的重量为Xi，(i=1,2,…,100)，则100袋大米的总重量为1001iiXX。因为10)(iXE，1.0)(iXVar，所以100010100)(XE，101.0100)(XVar由中心极限定理知，101000X近似服从)1,0(N故)10|1000(|)1010990(XPXP1)10(2)10|101000(|XP998.01999.021)16.3(25.4一加法器同时收到20个噪声电压,(1,2,,20)iVi，设它们是相互独立的随机变量，并且都服从区间[0,10]上的均匀分布。记201kkVV，求(105)PV的近似值。解：()5,()10012(1,2,,20)kkEVDVk，由定理1，得(105)PV205105205()(1012)20(1012)20VP)387.020)1210(100(VP)387.020)1210(100(1VP)387.0(1348.0即有(105)PV0.3485.5一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成,在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.1,为了使整个系统起作用,至少要有85个部件正常工作.求整个系统起作用的概率解：设正常工作的部件数为X，因为部件正常工作的概率为9.01.01p，所以)9.0,100(~BX，有909.0100)(XE，91.090)(XVar由中心极限定理知，390X近似服从)1,0(N故所求的概率为)35390(1)85(1)85(XPXPXP9525.0)67.1()35()35(15.6银行为支付某日即将到期的债券需准备一笔现金.这批债券共发放了500张,每张债券到期之日需付本息1000元.若持券人(一人一张)于债券到期之日到银行领取本息的概率为0.4,问银行于该日应至少准备多少现金才能以99.9%的把握满足持券人的兑换?解：设领取本息的人数为X，则)4.0,500(~BX。有2004.0500)(XE，1206.0200)(XVar由中心极限定理知，120200X近似服从)1,0(N又设要准备现金x元，则满足兑换的概率为)1202001000/()1000()1000(xxXPxXP依题意，要满足)1.3(999.0)1202001000/(x，即要1.31202001000/x解之得80.2339581000)2001201.3(x故应准备234000元的现金。第五章《大数定律和中心极限定理》定义、定理、公式小结及补充：切比雪夫不等式设随机变量X有期望)(XE和方差2)(XD,则对于任给0,有22}|{|XP.（1）大数定律X切比雪夫大数定律设随机变量12,,nXXX相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：()iVarX(1,2,i),则对于任意的正数ε，有.1)(11lim11niiniinXEnXnP特殊情形：若12,,nXXX具有相同的数学期望(),iEX1,2,i，则上式成为.11lim1niinXnP伯努利大数定律设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有.1limpnPn伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即.0limpnPn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设12,,nXXX是相互独立同分布的随机变量序列，(),iEX1,2,i，则对于任意的正数ε有.11lim1niinXnP（2）中心极限定理),(2nNX列维－林德伯格定理设随机变量12,,nXXX相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：),2,1(0)(,)(2kXDXEkk，则随机变量nnXYnkkn1的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗－拉普拉斯定理设随机变量nX为具有参数n,p(0p1)的二项分布，则对于任意实数x,有xtnndtexpnpnpXP.21)1(lim22（3）二项定理若当),(,不变时knpNMN，则knkknnNknMNkMppCCCC)1().(N超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理若当0,npn时，则ekppCkknkkn!)1().(n其中k=0，1，2，…，n，…。二项分布的极限分布为泊松分布。