第2章电磁场基本方程

第二章电磁场基本方程2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量(9.10学时)2.2法拉弟电磁感应定律和全电流定律2.3麦克斯韦方程组（11.12学时）2.4电磁场的边界条件(13.14学时)2.5坡印廷定理和坡印廷矢量（15.16学时）2.6唯一性定理返回第9.10学时2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量2.1.1库仑定律和电场强度两点电荷间的作用力返回221ˆrqqKrF其中,K是比例常数,r是两点电荷间的距离,为从q1指向q2的单位矢量。若q1和q2同号,该力是斥力,异号时为吸力。比例常数K的数值与力,电荷及距离所用的单位有关。在SI制中,库仑定律表达为)(4ˆ2021NrqqrF式中,q1和q2的单位是库仑(C),r的单位是米(m),ε0是真空的介电常数:mF/1036110854.89120设某点试验电荷q所受到的电场力为F,则该点的电场强度为)/(mVqFE由库仑定律知,在离点电荷q距离为r处的电场强度为204ˆrqrE除电场强度E外，描述电场的另一个基本量是电通量密度D，又称为电位移矢量。在简单媒质中，电通量密度由下式定义:)/(2mCEDε是媒质的介电常数，在真空中ε=ε0。则对真空中的点电荷q有，24ˆrqrD2.1.2高斯定理,电通量密度电通量为qrrqdsDS2244此通量仅取决于点电荷量q,而与所取球面的半径无关。根据立体角概念可知,当所取封闭面非球面时,穿过它的电通量将与穿过一个球面的相同,仍为q。如果在封闭面内的电荷不止一个,则利用叠加原理,穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量SQdsD这就是高斯定理的积分形式，即穿过任一封闭面的电通量，等于此面所包围的自由电荷总电量。对于简单的电荷分布，可方便地利用此关系来求出D。若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度ρv分布的,则所包围的总电量为dvQVvVVvdvDdv上式对不同的V都应成立,则两边被积函数必定相等,于是，vD2.1.3比奥-萨伐定律,磁通量密度两个载流回路间的作用力llrrdlIIdlF'20)ˆ''(4r是电流元I′dl′至Idl的距离,μ0是真空的磁导率:mH/10470lBIdlF'3020''4ˆ''4llrrdlIrrdlIB矢量B可看作是电流回路l′作用于单位电流元(Idl=1A·m)的磁场力,它是表征电流回路l′在其周围建立的磁场特性的一个物理量,称为磁通量密度或磁感应强度。TmWbmsVmAN22磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为BIdlF或用运动速度为v的电荷Q表示,Idl=JAdl=ρvAdlv=Qv,其中A为细导线截面积,得BQvF对于点电荷q,上式变成BqvF通常将上式作为B的定义公式。点电荷q在静电场中所受的电场力为qE,因此,当点电荷q以速度v在静止电荷和电流附近时,它所受的总力为)(BvEqF例2.1参看下图,长2l的直导线上流过电流I。求真空中P点的磁通量密度。载流直导线［解］采用柱坐标,电流Idz′到P点的距离矢量是'ˆ)]'(ˆˆ['ˆ'])'([),'(ˆˆ2/122dzzzzdzzRdlzzRzzzR222202/3220)()(4ˆ)'('4ˆlzzllzzlIzzdzIBll对无限长直导线,l→∞,有2ˆ0IB对于无限长的载流直导线,若以ρ为半径绕其一周积分B,可得IdlBIdIdlBlll000ˆ2ˆ在简单媒质中,H由下式定义:)/(mABH2.1.4安培环路定律,磁场强度H称为磁场强度,μ是媒质的磁导率。在真空中μ=μ0,于是有lIdlH该式最先由安培在1823年提出,故称之为安培环路定律。它表明,磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流I。这里的I应理解为传导电流的代数和。利用此定律可方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。SsdsJdsH)(因为S面是任意取的,所以必有JH2.1.5两个补充的基本方程在静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零:ldlE0利用斯托克斯定理可将左端化为▽×E的面积分,从而得0E说明静电场是无旋场即保守场。静电场的保守性质符合能量守恒定律，它和重力场性质相似。物体在重力场中有一定的位能,同样地,电荷在静电场中也具有一定的电位能。从而可引入电位函数φ:E静电场既然是无旋场,则必然是有散场,它的通量源就是电荷。电力线起止于正负电荷。静磁场的特性则正好相反。因为在自然界中并不存在任何单独的磁荷,磁力线总是闭合的。这样,闭合的磁力线穿进封闭面多少条,也必然要穿出同样多的条数,结果使穿过封闭面的磁通量恒等于零,即SdsB0将左端化为▽·B的体积分知0B2.2法拉第电磁感应定律和全电流定律2.2.1法拉第电磁感应定律静态的电场和磁场的场源分别是静止的电荷和等速运动的电荷。它们相互独立,基本方程之间并无联系。但随时间变化的电场和磁场是相互关联的。这首先由英国科学家法拉第在实验中观察到。即导线回路所交链的磁通量随时间改变时,回路中将感应一电动势,而且感应电动势正比于磁通的时间变化率。楞次定律指出了感应电动势的极性,即它在回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻碍磁通的变化。这两个结果的结合就是法拉第电磁感应定律,其数学表达式为dtdm上式可写成SllSdlBvdstBdsBdtddlE)(右边第一项是磁场随时间变化在回路中“感生”的电动势;第二项是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动势。应用斯托克斯定理,上式左端的线积分可化为面积分。若回路静止,则穿过回路的磁通量仅受B随时间变化的影响。故SSdstBdsE)(因为S任意,从而有tBE这是法拉第电磁感应定律的微分形式。其意义是,随时间变化的磁场将激发电场。称该电场为感应电场,以区别于由电荷产生的库仑电场。库仑电场是无旋场即保守场;而感应电场是旋涡场。其旋涡源就是磁通的变化。2.2.2位移电流和全电流定律微分形式基本方程如下:0BDJHtBEv在任何时刻电荷守恒定律都应成立。其数学表达式为电流连续性方程:SdtdQdsJJ是电流密度即电流的体密度,其方向为所在点处正电荷流动的方向,其大小为垂直于该方向单位面积上每单位时间内通过的电荷量,单位为A/m2。因此,若体积中各处都有电荷流动,则通过某封闭面S的总电流为，它是每单位时间流出S面的电荷量,应等于S面内每单位时间所减少的电荷量-dQ/dt。SIAdsJ把上式两端用体积分表示,对静止体积V有VVVcvdvtdvtJdv上式对任意选择的V都成立,故有tJv微分形式的电流连续性方程：JH0)(tJHv0)(tDJH)(tDJH的量纲是(库仑/米2)/秒=安/米2,即具有电流密度的量纲,故称之为位移电流密度(DisplacementCurrentDensity)Jd,即tD/tDJdlSdstDJdlH对左端应用斯托克斯定理,便得到其积分形式:上式说明:磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的全电流。2.2.3全电流连续性原理dvctJJJJ0)(dvcJJJ对任意封闭面S有0)()(dvJJJdsJJJVdvcSdvc即0dvcIII穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续性原理。将它应用于只有传导电流的回路中,得知节点处传导电流的代数和为零(流出的电流取正号,流入取负号)。即为基尔霍夫电流定律:ΣI=0。例设平板电容器两端加有时变电压U,试推导通过电容器的电流I与U的关系。平板电容器［解］tEAtDAAJIIdd设平板尺寸远大于其间距,则板间电场可视为均匀,即E=U/dtUdAItUCI式中C=εA/d为平板电容器的电容。第11.12学时2.3麦克斯韦方程组2.3.1麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式麦克斯韦返回麦克斯韦方程组及电流连续性方程这四个方程的物理意义可简述如下:(a)时变磁场将激发电场;(b)电流和时变电场都会激发磁场;(c)穿过任一封闭面的电通量等于此面所包围的自由电荷电量;(d)穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。麦氏方程组中的四个方程并不都是独立的。上表中两个散度方程可由两个旋度方程导出。例如,对式(b)取散度,得0tDJ将连续性方程代入上式,有0)(Dttv则)(常数CDv2.3.2本构关系和波动方程对于简单媒质,本构关系是)()()(hEJgHBfED对于真空(或空气),ε=ε0,μ=μ0,σ=0。σ=0的媒质称为理想介质,σ=∞的导体称为理想导体,σ介于二者之间的媒质统称为导电媒质。若媒质参数与位置无关,称为均匀(homogeneous)媒质;若媒质参数与场强大小无关,称为线性(linear)媒质;若媒质参数与场强方向无关,称为各向同性(isotropic)媒质;若媒质参数与场强频率无关,称为非色散媒质;反之称为色散(dispersive)媒质。利用上述关系式,将表中的各式可化为0/HEtEJHtHEv)()(2HtEEE222tEE022tEE即0)(222tHHH为研究简单媒质中的有源区域时,J≠0,ρv≠0,由类似的推导得JtHHtJtEEv222222该二式称为E和H的非齐次矢量波动方程。其中场强与场源的关系相当复杂,因此通常都不直接求解这两个方程,而是引入下述位函数间接地求解E和H。2.3.3电磁场的位函数由中的麦氏方程组式知,▽·B=0。由于▽·(▽×A)=0,因而可引入下述矢量位函数A(简称矢位或磁矢位):AHAB1即而由表中的麦氏方程组式(a)知,0tBE0tAE由于▽×▽φ=0,故引入标量位函数φ(简称标位或电标位):tAEtAE即▽φ前加负号是为了使时化为静电场的E=-▽φ。0/tAtAtJA因▽×▽×A=▽(▽·A)-▽2A,上式可改写为tAJtAA222为使上述方程具有最简单的形式,令tA为洛仑兹规范JtAA222vAt2vt222JAtA)()(222Jtt222tJv例试用麦克斯韦方程组导出如图所示的RLC串联电路的电压方程(电路全长远小于波长)。RLC串联电路[解］沿导线回路l作电场E的闭合路径积分,根据表麦氏方程式ldtddlE上式左端就是沿回路的电压降,而ψ是回路所包围的磁通。将回路电压分段表示,得0dtdUUUUdacdbcab设电阻段导体长为l1,截面积为A,电导率为σ,其中电场为J/σ,故AlRIRlAIlJdlJUbaab111,电感L定义为ψm/I,ψm是通过电感线圈的全磁通,得dtdILdtdUmbc通过电容C的电流已得出:IdtCUdtdUCIcd1设