2016年上半年中小学教师资格考试-数学学科知识与教学能力试题(初级中学)

２０１６年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（初级中学）（满分：１００分　考试时间：１２０分钟）题号一二三四五六总分统分人签字得分得分评卷人　　一、单项选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填入题后的括号内）１．极限ｌｉｍｎ→∞（１－１ｎ）的值是（　　）。Ａ．０Ｂ．１Ｃ．ｅＤ．１ｅ２．下列级数中，不收敛∙∙∙的是（　　）。Ａ．􀰐∞ｎ＝１（－１）ｎｎＢ．􀰐∞ｎ＝１１ｎ２Ｃ．􀰐∞ｎ＝１１ｎＤ．􀰐∞ｎ＝１１ｎ！３．方程ｘ２１６－ｙ２９＋ｚ２４＝１所确定的二次曲面是（　　）。Ａ．椭球面Ｂ．旋转双曲面Ｃ．旋转抛物面Ｄ．圆柱面４．若函数ｆ（ｘ）在［０，１］上黎曼可积，则ｆ（ｘ）在［０，１］上（　　）。Ａ．连续Ｂ．单调Ｃ．可导Ｄ．有界５．矩阵１　２　２２　１　２２　２　１æèçççöø÷÷÷的牲值的个数为（　　）。Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３６．二次型ｘ２－ｘｙ＋ｙ２是（　　）。Ａ．正定的Ｂ．半正定的Ｃ．负定的Ｄ．半负定的７．下面不属于∙∙∙第三学段“数与代数”内容的是（　　）。Ａ．实数Ｂ．平均数Ｃ．代数式Ｄ．函数·１·８．创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。下面的表述不适合∙∙∙在教学培养学生创新意识的是（　　）。Ａ．发现和提出问题Ｂ．寻求解决问题的不同策略Ｃ．规范数学书写Ｄ．探索结论的新应用得分评卷人　　二、简答题（本大题共５小题，每小题７分，共３５分。）　　９．设质点在平面上的运动轨迹为ｘ＝ｔ－ｓｉｎｔ，ｙ＝２－ｃｏｓｔ，{ｔ≥０，求质点在时刻ｔ＝１的速度的大小。１０．设球面方程ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝９，求它在点（１，２，２）处的切平面方程。１１．设概率空间为Ω＝｛１，２，３，４，５，６｝，且这六个数的出现概率均为１６。设事件Ａ＝｛１，３，５｝，事件Ｂ＝｛１，２｝。请回答事件Ａ和Ｂ是否独立，并说明理由。·２·１２．《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》有两类行为动词，其中一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解”“理解”“掌握”“运用”，请以“平行四边形”概念为例，说明“理解”的基本含义。１３．以“三角形的中位线定理”教学为例，简述数学定理教学的主要环节。得分评卷人　　三、解答题（本大题１小题，１０分。）１４．设Ａ＝　１　１　０　　１　２　１　　３　４　１æèçççöø÷÷÷，求子空间Ａ（Ｒ３）＝｛Ａａ｜ａ􀆠Ｒ３｝的一组正交基。·３·得分评卷人　　四、论述题（本大题１小题，１５分。）１５．“严谨性与量力性相结合”是数学教学的基本原则。（１）简述严谨性与量力性相结合教学原则的内涵（３分）；（２）初中数学教学中“负负得正”运算法则引入的方式有哪些？请写出至少两种（６分）；（３）在初中“负负得正”运算法则的教学中，如何体现“严谨性与量力性相结合”的教学原则？（６分）得分评卷人　　五、案例分析题（本大题１小题，２０分。）阅读案例，并回答问题。１６．案例：在“有理数运算”的习题课上，有这样一道题：计算：－１０５５７æèçöø÷÷（－５）－２×－３８＋１２æèçöø÷。学生甲的计算：－１０５５７æèçöø÷÷（－５）－２×－３８＋１２æèçöø÷＝－２１１７＋３４＋１４＝－２０１７。学生乙的计算：－１０５５７æèçöø÷÷（－５）－２×－３８＋１２æèçöø÷＝１０５５７×５＋３４＋１＝５２８４７＋７４＝５２９·４·学生丙的计算：－１０５５７æèçöø÷÷（－５）－２×－３８＋１２æèçöø÷＝１０５５７÷［２×（－３８）＋２×１２］＝１０５５７×１５＋３４－１＝２１１７－１４＝２０２５２８。问题：（１）判断学生甲、乙、丙的运算过程是否正确；（４分）（２）请指出学生运算过程中的错误，并分析产生错误的原因；（８分）（３）针对有理数的运算，谈谈如何提高学生的运算能力。（８分）·５·得分评卷人　　六、教学设计题（本大题１小题，３０分）。１７．针对“一元二次议程”起始课的教学，两位老师给出了如下教学设计片段：【教师甲】设置问题：请同学们根据下列问题，只列出含未知数ｘ的方程：（１）一个正方形的面积为２，求正方形的边长ｘ。（２）长度为１的线段ＡＢ有一点Ｃ，且满足ＡＣＡＢ＝ＢＣＡＣ，求线段ＡＣ的长ｘ。预设：学生会分别列出两个方程。教师要求学生分别整理成方程左侧降幂排列，右侧为零的形式，然后引导学生完成下面两件事：对比“一元一次方程”的定义，为这类议程定义一个名称———一元二次方程。再请学生自行写出几个不同的一元二次议程，并提炼出一元二次方程的一般表达式。【教师乙】上课开始。提问：什么是“一元一次方程”？请你根据“一元一次方程”的定义，给出“一元二次方程”的定义，并举出几个“一元二次方程”的例子。在学生举例的基础上，提炼出“一元二次方程”的一般表达式。请完成下列任务：（１）请分析两位老师引入“一元二次方程”概念设计方案的各自的特点。（１５分）（２）在教学中，当引入一个新的数学概念之后，往往通过例题、习题加深对概念的理解。请针对“一元二次方程”概念，设计不同难度的两道例题和两道习题，以加深学生对“一元二次方程”概念的理解。（１５分）·６·２０１５年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（初级中学）（满分：１５０分　考试时间：１２０分钟）题号一二三四五六总分统分人签字得分得分评卷人　　一、单项选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填入题后的括号内）１．已知变换矩阵Ａ＝２　００　３æèçöø÷，则Ａ将空间曲面（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝４变成（　　）。Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．抛物线Ｄ．双曲线２．已知数列｛ａｎ｝与数列｛ｂｎ｝，ｎ＝１，２，３…则下列结论不正确的是（　　）。Ａ．若对任意的正整数ｎ，有且ａｎ≤ｂｎ，ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝ａ，ｌｉｍｎ→∞ｂｎ＝ｂ＜０，则ａ＜０Ｂ．若ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝ａ，ｌｉｍｎ→∞ｂｎ＝ｂ，且存在正整数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时，ａｎ≥ｂｎ则ａ≥ｂＣ．若ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝ａ，ｌｉｍｎ→∞ｂｎ＝ｂ，且ａ＜ｂ，则对任意正整数ｎ，ａｎ＜ｂｎＤ．若对任意的整数ｎ，有ａｎ≥ｂｎ，ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝ａ，ｌｉｍｎ→∞ｂｎ＝ｂ，且ｂ＞０，则ａ＞０３．下列关系不正确的是（　　）。Ａ．（ａ＋ｃ）·ｂ＝ｂ·ａ＋ｂ·ｃＢ．（ａ＋ｃ）×ｂ＝ｂ×ａ＋ｂ×ｃＣ．（ａ·ｂ）２＋（ａ×ｂ）２＝ａ２ｂ２Ｄ．（ａ×ｂ）×ｃ＝（ａ·ｃ）ｂ－（ｂ·ｃ）ａ４．为研究７至１０岁少年儿童的身高情况，甲、乙两名研究人员分别随机抽取了某城市１００名和１０００名两组调查样本，若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别记为（单位：ｃｍ），则和的大小关系为（　　）。Ａ．α＞βＢ．α＜βＣ．α＝βＤ．不能确定５．若多项式ｆ（ｘ）＝２ｘ４－７ｘ３＋８ｘ２＋７ｘ－８和ｇ（ｘ）＝ｘ２－３ｘ＋４，则ｆ（ｘ）÷ｇ（ｘ）的商和余式为（　　）。Ａ．２ｘ２－ｘ－１，２ｘ＋３Ｂ．２ｘ２－ｘ－３，２ｘ－１Ｃ．２ｘ２－ｘ－３，２ｘ＋４Ｄ．２ｘ２－ｘ－１，０·７·６．函数级数􀰐∞ｎ＝１的收敛区间为（　　）。Ａ．（－１，１）Ｂ．（１，１〛Ｃ．［－１，１）Ｄ．［－１，１］７．《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》设定了九条基本事实，下列属于基本事实的是（　　）。Ａ．两条平行线被一条直线所截，同位角相等Ｂ．两平行线间距离相等Ｃ．两条平行线被一条直线所截，内错角相等Ｄ．两直线被平行线所截，对应线段成比例８．四个图形：相交直线、等腰三角形、平行四边形、正多边形，既是轴对称又是中心对称的有（　　）个。Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ４得分评卷人　　二、简答题（本大题共５小题，每小题７分，共３５分）　　９．一条光线斜射在一水平放置的平面镜上，人射角为二π／６，请建立空间直角坐标系，并求出反射光线的方程。若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，求所得的旋转曲面的方程。１０．求证：非齐次线性方程组：ａｘ＋ｂｙ＝ｃａ′ｘ＋ｂ′ｙ＝ｃ{有唯一解，当且仅当向量ｍ＝（ａ，ａ′），ｎ（ｂ，ｂ′）线性无关。·８·　　１１．某飞行表演大队由甲、乙两队组成。甲队中恰好有喷红色与绿色喷雾的飞机各３架。乙队中仅有３架喷红色烟雾的飞机。在一次飞行表演中，需要从甲队中任意选出３架飞机与乙队飞机混合编队进行表演，并任意确定一架飞机作为领飞飞机，求领飞飞机是喷绿色烟雾的概率。１２．阐述确定数学课程内容的依据。１３．抽象是数学的本质特征，数学的抽象性表现在哪些方面？请举例。·９·得分评卷人　　三、解答题（本大题１小题，共１０分）　　１４．叙述并证明拉格朗日微分中值定理，并简述拉格朗日中值定理与中学数学内容的联系。得分评卷人　　四、论述题（本大题１小题，共１０分）　　１５．叙述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵，并以“是无理数”的教学过程为例，说明在教学中如何体现该教学原则。·０１·得分评卷人　　五、案例分析题　　１６．案例：某教师关于“反比例函数图象”教学过程中的三个步骤为：第一步：复习回顾提出问题：我们已经学过一次函数的哪些内容？是如何研究的？第二步：引人新课。提出问题：反比例函数的图象是什么形状呢？引导学生利用描点法画出ｙ＝１ｘ的图象。列表：ｘ…－６－５－４－３－２－１１２３４５６…ｙ＝１ｘ…－１６－１５－１４－１３－１２－１１１２１３１４１５１６…　　描点：连线：引导学生用光滑的曲线连接描点，并用计算机演示图象的生成过程。在此过程中启发学生思考，由于ｘ，ｙ都不能为０，所以函数图象与ｘ轴、Ｙ轴不能有交点（如下图）……（第三步过程省略）（１）该教学过程的主要特点是什么？（８分）（２）在第二步的连线过程中，如果你是该老师，如何引导学生思考所连的线不是直线，而是光滑曲线（６分）（３）对于第三步的③，如果你是该老师，如何引导学生思考函数图象在第一象限（或第三象限）的变化？（６分）·１１·得分评卷人　　六、教学设计题（本大题共３０分）　　１７．《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》关于平行四边形的性质的教学要求是：探索并证明平行四边形的性质定理—平行四边形的对边以及对角相等。请基于该要求，完成下列教学设计任务：（１）设计平行四边形性质的教学目标；（６分）（２）设计两种让学生发现平行四边形性质的教学流程；（１２分）（３）设计平行四边形性质证明的教学流程，使学生领悟证明过程中的数学思想方法。（１２分）·２１·参考答案及解析２０１６年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（初级中学）参考答案及解析一、单项选择题１．Ｂ【解析】ｌｉｍｎ→∞（１－１ｎ）１ｎ＝ｌｉｍｎ→∞ｅｌｎ（１－１ｎ）１ｎ＝ｅｌｉｍｎ→∞１ｎｌｎ（１－１ｎ）＝ｅ０＝１。故选Ｂ。２．Ｃ【解析】假设调和级数􀰐∞ｎ＝１１ｎ收敛，记其和为Ｓｎ，即Ｓ＝􀰐∞ｎ＝１１ｎ。考虑该级数的部分和Ｓｎ＝１＋１２＋…＋１ｎ，Ｓ２ｎ＝１＋１２＋…＋１ｎ＋１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋…＋１ｎ＋ｎ，则Ｓ２ｎ－Ｓｎ＝１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋…＋１ｎ＋２＞１ｎ＋ｎ＋１ｎ＋ｎ＋…＋１ｎ＋ｎ＝１２，根据数列极限的保号性，有ｌｉｍｎ→∞（Ｓ２ｎ－Ｓｎ）≥１２（１）但是由假设可得ｌｉｍｎ→∞（Ｓ２ｎ－Ｓｎ）＝ｌｉｍｎ→∞Ｓ２ｎ－ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ＝０，这与（１）式矛盾，说明假设错误，因此调和级数􀰐∞ｎ＝１１ｎ发散。３．【解析】旋转双曲面的一般公式为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２－ｚ２ｃ２＝１（单叶双曲面），ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２－ｚ２ｃ２＝－１（双叶双曲面）。４．Ｄ【解析】根据黎曼可积定义，即黎曼可积必有界。５．Ｄ【解析】由矩阵Ａ的特征多项式｜λＥ－Ａ｜＝λ－２－２－２－２λ－１－２－２－２λ－１＝（λ－１）３－８－８－４（λ－１）－４（λ－１）－４（λ－１）＝（λ－１）－１２（λ－１）－１６＝（λ＋１）２（λ－５），可得其特征值为－１，－１，５共三个。６．Ａ【解析】由已知得其二次型矩阵的１阶顺序主子式为｜１｜＞０，２阶顺序主子式为｜Ａ｜＝１－１２－１２１＝３４＞０，故二次型ｘ２－ｘｙ＋ｙ２正定。７．Ｂ【解析】平均数是“统计与概率”的内容，因此选择Ｂ。８．Ｃ