2[1].3.2平面向量的正交分解及坐标表示及坐标运算

平面向量的正交分解及坐标表示复习平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1、e2唯一确定的数量。a=λ1e1+λ2e2复习G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2新课引入G与F1,F2有什么关系?把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若两个不共线向量互相垂直时aλ1a1λ2a2F1F2G正交分解我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。ayOxxiyjji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同向量a、b有什么关系?a＝b能说出向量b的坐标吗?b=(x,y)yxAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。yxOji设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；a(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.(1)(1,2)a(2)(1,2)b(1,2)A.xyoaxyo(1,2)B.解：b如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.AA1A2abcd解：同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)yxO1234-4-3-2-154321-1-2-3-4-5ji1234由图可知a=AA1+AA2=2i+3j,a=(2,3)例1.用基底i,j分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.-4-3-2-11234ABij12-2-1Oxyabcd45323(2,3)ABij23(2,3)bij23(2,3)cij23(2,3)dija的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。1122(,),(,),AxyBxy若则AB问1:设的坐标与的坐标有何关系?,aABaAB、问2:相等向量的坐标有什么关系？1ABij1OxyaA1B1(x1,y1)(x2,y2)P(x,y)b2121(,)xxyy结论1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。4321-1-2-3-2246ij），（yxP(,)OPxiyjxy向量的坐标与点的坐标关系O向量P（x，y）一一对应OPxiyj小结:对向量坐标表示的理解:(1)任一平面向量都有唯一的坐标;(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标.(3)相等的向量有相等的坐标.),,(),,(2211yxbyxaba，若.,),,(),(21212211yyxxyxyx即则练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.(1)(1,2)a(2)(1,2)b(1,2)A.xyoaxyo(1,2)B.解：b1122(,),(,),,(,),axybxyababaxya问题:(1)已知求的坐标.(2)已知和实数求的坐标.（二）平面向量的坐标运算：1122(1)abxiyjxiyj1212(,)abxxyy同理得(2)(,)axiyjxiyjxy结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.结论3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.1212xxiyyj1212(,)xxyy已知，求的坐标.ABOxyB(x2,y2)A(x1,y1)ABOBOA结论1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。1122(,),(,)AxyBxy从向量运算的角度2,211()(,)xyxy2121(,)xxyy2(2,1),(3,4),,,34abababab例：已知求的坐标.(2,1)(3,4)(1,5)ab解：(2,1)(3,4)(5,3)ab343(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)ab(6,19)例3已知三个力1F(3,4),2F(2,5),3F(x,y)的合力1F+2F+3F=0求3F的坐标。解：由题设1F+2F+3F=0得：(3,4)+(2,5)+(x,y)=(0,0)即：054023yx∴15yx∴3F(5,1)(2,3),(3,5),ABBA例4、1已知求的坐标.(1,2),(2,1),ABAB2已知求的坐标.解：BA2,33,55,2.,解：设Bx,y1,2,2,1,ABxy1221xy即31xy.即B3,-1例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。4321-1-2-3-4-6-4-2246xyOA(-2,1)B(-1,3))C(3,4)D(x,y),)Dxy解：设顶点的坐标为（)2,1()13),2(1(AB)4,3(yxDC123-,4)ABDCxy有得：（，）（yx4231），的坐标是（顶点22Dyx22OyxABCD例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标.变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：当平行四边形为ADCB时，由得D1=(2,2)DCAB当平行四边形为ACDB时，得D2=(4,6)D1D2当平行四边形为DACB时，得D3=(6,0)D3课堂总结:1.向量的坐标的概念:2.对向量坐标表示的理解:3.平面向量的坐标运算:(1)任一平面向量都有唯一的坐标;(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)相等的向量有相等的坐标.1122(,),(,),axybxy(1)若则1212(,),abxxyy1212(,),abxxyy11(,)axy1122(,),(,),AxyBxy(2)若2121(,)ABxxyy(,)axiyjxy4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思想随堂练习1a=4,6,a=2b,b、且那么的坐标是A、(3,2)B、(2,3)C、(-3,-2)D、(-2,-3)B2a=x-2,3b=1,y+2、若向量与向量相等，那么A、x=1,y=3B、x=3,y=1C、x=1,y=-3D、x=5,y=-1B3AB=x,y,B-2,1,OA、已知的坐是那么的标坐标为A、(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)C、(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)C4a=1,1,b=1,-1,c=-1,2,c13133131A-a+bBa-bCa-bD-a+b22222222、若向量那么等于、、、、B5a=3,-1,b=-1,2,-3a-2bA7,1B-7-1C-7,1D7-1、已知那么等于、、，、、，B6Bm,n,AB、已知的坐是标的坐标为(i,j),则点A的坐标为A、(m-i,n-j)B、(i-m,j-n)C、(m+i,n+j)D、(m+n,i+j)A小结平面向量的正交分解平面向量的坐标表示