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逻辑斯蒂(Logistic)回归Logistic回归模型•列联表中的数据是以概率的形式把属性变量联系起来的，而概率p的取值在0与1之间，因此，要把概率与之间直接建立起函数关系是不合适的。即()pxx()xxLogistic回归模型•因此，人们通常把p的某个函数f(p)假设为变量的函数形式，取•称之为logit函数，也叫逻辑斯蒂变换。•因此，逻辑斯蒂变换是取列联表中优势的对数。当概率在0-1取值时，Logit可以取任意实数，避免了线性概率模型的结构缺陷。()()lnln1()1xpfpxpLogistic回归模型假设响应变量Y是二分变量，令,影响Y的因素有k个，则称：•为二分数据的逻辑斯蒂回归模型，简称逻辑斯蒂回归模型。其中的k个因素称为逻辑斯蒂回归模型的协变量。•最重要的逻辑斯蒂回归模型是logistic线性回归模型，多元logit模型的形式为：1ln(,,)1kpgxxp1,kxx(1)pPY011ln1kkpxxpLogistic回归模型•其中，是待估参数。根据上式可以得到优势的值：•可以看出，参数是控制其它时每增加一个单位对优势产生的乘积效应。•概率p的值：01,,,k0111kkxxpep0110111kkkkxxxxepexiix含有名义数据的logit•有些协变量为定量数据，logistic回归模型的协变量可以是定性名义数据。这就需要对名义数据进行赋值。•通常某个名义数据有k个状态，则定义变量代表前面的k-1状态，最后令k-1变量均为0或-1来代表第k个状态。•如婚姻状况有四种状态：未婚、有配偶、丧偶和离婚，则可以定义三个指示变量M1、M2、M3，用(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(0,0,0)或(-1,-1,-1)来对以上四种状态赋值。11,,kMM含有名义数据的logit含有名义数据的logit•例：某地25岁及以上人中各类婚姻状况居民的死亡情况见表，试建立死亡率关于年龄和婚姻状况的logit模型。•其中，A表示年龄(取中值)，M1、M2、M3表示婚姻状况•于是，估计的logit方程为：112233ln1pAMMMp123ˆln11.5360.1240.7110.4230.021ˆ1pAMMMp含有有序数据的logit•Logit模型的协变量也可以是有序数据•对有序数据的赋值可以按顺序用数0,1,2,3,4分别表示【例】某地某年各类文化程度的死亡人数见表，试建立logit模型。•建立死亡率关于年龄和文化程度的logit模型•其中A为年龄，E为文化程度ln1pAEp含有有序数据的logit含有有序数据的logit•于是，估计的logit方程为：•其中，年龄的系数0.124，说明年龄越大死亡率会越高；•文化程度的系数-0.164，说明文化程度与死亡率呈负相关，文化程度越高，死亡率越低。ln11.6370.1240.1641pAEp多项logit模型•前面讨论的logit模型为二分数据的情况，有时候响应变量有可能取三个或更多值，即多类别的属性变量。•根据响应变量类型的不同，分两种情况：–响应变量为定性名义变量；–响应变量为定性有序变量；•当名义响应变量有多个类别时，多项logit模型应采取把每个类别与一个基线类别配成对，通常取最后一类为参照，称为基线-类别logit.多项logit模型•预测变量为x的基线-类别logit模型为：•模型共有J-1个方程，每个方程有不同的参数，这些效应依据与基线配对的类别而变化；•软件可以同时拟合模型中的所有方程；•不管哪个类别作为基线，对于同一对类别都会有相同的参数估计；即基线类别的选择是任意的；ln(),1,,1jjjJxjJ多项logit模型【例】研究三个学校、两个课程计划对学生偏好何种学习方式的影响。调查数据见表:•其中，三个学校对应两个哑变量x1和x2，两个课程计划为常规(x3=1)和附加(x3=0)，学习方式分为：自修(y=1)、小组(y=2)、上课(y=3)•从题目可以看出，响应变量是学习方式有三类，属于多项逻辑斯蒂回归问题。于是，建模为：11011112213332202112222333lnlnpxxxppxxxp多项logit模型多项logit模型•应用统计软件可以得到模型的参数估计和回归方程：•然后，将x1和x3的取值代入上式，可以进一步对三个属性之间的关系加以分析。–学校2与学校3的学生在自修与上课两种学习方式上偏好相同；–学校1比学校2和3更偏好上课(1.7270.593);–课程计划中，常规课程与附加课程相比，常规课程学生更偏好自修；–小组与上课相比，三个学校没有差别；常规课程学生更偏好小组学习。1ln0.5931.1340.6181332ln0.6030.63533pxxppxp多项logit模型•当响应变量为定性有序变量时，多项logit模型的处理会与名义变量有所不同。•有序响应变量的累积logit模型–当变量为有序变量时，logit可以利用这一点，得到比基线-类别有更简单解释的模型；–Y的累积概率是指Y落在一个特定点的概率，对结果为类别j时，其累积概率为：–累积概率满足：–累积概率的模型并不利用最后一个概率，因为它必然等于11(),1,,jPYjjJ(1)()1PYPYJ多项logit模型【例】研究性别和两种治疗方法(传统疗法与新疗法)对某种疾病疗效的影响，84个病人的数据见表。•由题知，疗效是一个有序变量，包括显著、较有效和无效三个值，需要建立累积logit模型。多项logit模型•令p1,p2,p3分别表示疗效的三种情况出现的概率，在对性别和疗法赋值后，则累积logit模型为：•其中，与基线-类别logit不同的是，参数描述了变量对响应变量落在类j或小于j的对数优势的效应，且对所有(J-1)个累积logit都是相等的；的情况类似。•以上性质决定了在其他变量不变的情况下，每增加一个单位，响应变量在任意给定类别下的优势比将为。•这一相同的比例(β)适用于每个累积概率,称为比例优势假设.110112211220112212ln1ln1()pxxpppxxpp11x21xe多项logit模型•应用统计软件，可以得到以上模型的参数估计和回归方程：•统计分析结论如下：–女性比男性的疗效好，其优势比为：–新疗法比传统疗法好，其优势比为：1121121212ln0.4491.3191.7971ln1.3031.3191.7971()pxxpppxxpp1.3193.798e1.7976.032e本次问卷中的案例(以食堂满意度为例)•一般为多项逻辑模型，且响应变量为有序变量。110112211220112212ln1ln1()pxxpppxxpp