高考导数题的解题技巧 绝版

导数题的解题技巧导数命题趋势：（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题.（2）求极值,证明不等式，函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.【考点透视】1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【例题解析】考点1导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.例1．（2007年北京卷）()fx是31()213fxxx的导函数，则(1)f的值是．[考查目的]本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.[解答过程]22()2,(1)123.fxxf故填3.例2.(2006年湖南卷）设函数()1xafxx,集合M={|()0}xfx,P='{|()0}xfx,若MP,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.[解答过程]由0,,1;,1.1xaxaaxx当a1时当a1时//2211,0.11111.xxaxaxaayyxxxxa综上可得MP时,1.a考点2曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.（2）关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.典型例题例3.（2007年湖南文）已知函数3211()32fxxaxbx在区间[11)，，(13]，内各有一个极值点．（I）求24ab的最大值；（II）当248ab时，设函数()yfx在点(1(1))Af，处的切线为l，若l在点A处穿过函数()yfx的图象（即动点在点A附近沿曲线()yfx运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数()fx的表达式．思路启迪：用求导来求得切线斜率.解答过程：（I）因为函数3211()32fxxaxbx在区间[11)，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()fxxaxb0在[11)，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12xx，（12xx），则2214xxab，且2104xx≤．于是2044ab≤，20416ab≤，且当11x，23x，即2a，3b时等号成立．故24ab的最大值是16．（II）解法一：由(1)1fab知()fx在点(1(1))f，处的切线l的方程是(1)(1)(1)yffx，即21(1)32yabxa，因为切线l在点(1())Afx，处空过()yfx的图象，所以21()()[(1)]32gxfxabxa在1x两边附近的函数值异号，则1x不是()gx的极值点．而()gx321121(1)3232xaxbxabxa，且22()(1)1(1)(1)gxxaxbabxaxaxxa．若11a，则1x和1xa都是()gx的极值点．所以11a，即2a，又由248ab，得1b，故321()3fxxxx．解法二：同解法一得21()()[(1)]32gxfxabxa2133(1)[(1)(2)]322axxxa．因为切线l在点(1(1))Af，处穿过()yfx的图象，所以()gx在1x两边附近的函数值异号，于是存在12mm，（121mm）．当11mx时，()0gx，当21xm时，()0gx；或当11mx时，()0gx，当21xm时，()0gx．设233()1222aahxxx，则当11mx时，()0hx，当21xm时，()0hx；或当11mx时，()0hx，当21xm时，()0hx．由(1)0h知1x是()hx的一个极值点，则3(1)21102ah，所以2a，又由248ab，得1b，故321()3fxxxx．例4.（2006年安徽卷）若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（）A．430xyB．450xyC．430xyD．430xy[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]与直线480xy垂直的直线l为40xym，即4yx在某一点的导数为4，而34yx，所以4yx在(1，1)处导数为4，此点的切线为430xy.故选A.例5．(2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+25=0相切的直线的方程为()A.y=-3x或y=31xB.y=-3x或y=-31xC.y=-3x或y=-31xD.y=3x或y=31x[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]解法1：设切线的方程为,0.ykxkxy又22521,2,1.2xy圆心为222151,3830.,3.231kkkkkk1,3.3yxyx或故选A.解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,2222由//22////113231(,)(,)22225(2)1,22(2)210,2.113,.313,.3xxxxxxxyxyyxyykykyyxyx故选A.例6.已知两抛物线axyCxxyC2221:,2:,a取何值时1C，2C有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.思路启迪：先对axyCxxyC2221:,2:求导数.解答过程：函数xxy22的导数为22'xy，曲线1C在点P(12112,xxx)处的切线方程为))(2(2)2(11121xxxxxy，即211)1(2xxxy①曲线1C在点Q),(222axx的切线方程是)(2)(222xxxaxy即axxxy2222②若直线l是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是l的方程，故得1,1222121xxxx，消去2x得方程，0122121axx若△=0)1(244a，即21a时，解得211x，此时点P、Q重合.∴当时21a，1C和2C有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14yx.考点3导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1..求函数的解析式;2.求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.典型例题例7．（2006年天津卷）函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?OD．4个[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.[解答过程]由图象可见,在区间(,0)a内的图象上有一个极小值点.故选A.例8.（福建省2008年普通高中毕业班质量检查）已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值．(I)求实数a的值；(Ⅱ)若关于x的方程，f(x)=bx25在区间[O，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；(Ⅲ)证明：对任意的正整数n，不等式ln211nnnn都成立．[考查目的]本小题主要考查函数的导数、单调性、极值和不等式等基础知识；考查化归及数形结合的思想方法；考查分析问题、解决问题的能力。解答过程：解：(Ⅰ)()fx=121xxa∵x=0时，f(x)取得极值，∴(0)f=0，故12010a=0，解得a=1.经检验a=1符合题意.(Ⅱ)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2-x，由f(x)=52x+b,得ln(x+1)-x2+32x-b=0，令φ(x)=ln(x+1)-x2+32x-b，则f(x)=52x+b在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0，2]恰有两个不同实数根．13(45)(1)()2122(1)xxxxxx，当x∈(O，1)时，()xO，于是φ(x)在(O，1)上单调递增；当x∈(1，2)时，()x0，于是φ(x)在(1，2)上单调递减．依题意有(0)0,3(1)ln(11)10,2(2)ln(12)430,bbb∴ln3-1≤bln2+12.(Ⅲ)f(x)=ln(x+1)-x2–x的定义域为{x|x-1}，由(Ⅰ)知(23)()(1)xxfxx，令()fx=0得，x=0或x=-32(舍去)，∴当-1x0时，()fx0，f(x)单调递增；当x0时，()fx0，f(x)单调递减.∴f(0)为f(x)在(-1,+∞)上的最大值.∴f(x)≤f(0)，故ln(x+1)-x2-x≤0(当且仅当x=0时，等号成立).对任意正整数n，取x=1n0得，ln(1n+1)1n+21n，故ln(1nn)21nn.例9.函数yxx243的值域是_____________.思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。解答过程：由24030xx得，x2，即函数的定义域为[,)2.yxxxxxx'12412323242243，又2324282324xxxxx，当x2时，y'0，函数yxx243在(,)2上是增函数，而f()21，yxx243的值域是[,)1.例10．（2006年天津卷）已知函数cos163cos3423xxxf，其中,Rx为参数，且20．（1）当时0cos，判断函数xf是否有极值；（2）要使函数()fx的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数xf在区间aa,12内都是增函数，求实数a的取值范围．[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.[解答过程]（Ⅰ）当cos0时，3()4fxx，则()fx在(,)内是增函数，故无极值.（Ⅱ）2'()126cosfxxx，令'()0fx，得12cos0,2xx.由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.①当cos0时，随x的变化'()fx的符号及()fx的变化情况如下表：x(,0)0cos(0,)2cos2cos(,)2'()fx+0