30MBA数学考试数学基础知识(1-3)

1MBA数学辅导关于条件充分性判断题目的几点说明：1．充分性命题定义对于两个命题A和B而言，若由命题A成立，肯定可以推出命题B也成立，则称命题A是命题B成立的充分条件，或称命题B是命题A成立的必要条件。【注意】A是B的充分条件可以简单地理解为：有A必有B，无A时B不定。2．解题说明与各选项含义本类题要求判断给出的条件（1）和（2）能否充分支持题干所陈述的结论，即只要分析条件是否充分即可，而不要考虑条件是否必要。阅读条件（1）和（2）后选择：（A）条件（1）充分，但条件（2）不充分（B）条件（2）充分，但条件（1）不充分（C）条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分（D）条件（1）充分，条件（2）也充分（E）条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来也不充分3．图示描述（1）√（2）×（A）（1）×（2）√（B）2（1）×（2）×（1）（2）联合√（C）（1）√（2）√（D）（1）×（2）×（1）（2）联合×（E）4．常用的解题方法（1）直接定义分析法(即由A推导B)若由A推导出B,则A是B的充分条件；若由A推导出与B矛盾的结论，则A不是B的充分条件。直接定义分析法是解条件充分性判断题的最基本的解法。（2）题干等价推导法（寻找题干结论的充分必要条件）要判断A是否是B的充分条件，先找出B等价的充要条件C，再判断A是否是C的充分条件。（3）特殊反例法由条件中的特殊值或条件的特殊情况入手，导出与题干矛盾的结论，从而得出条件不充分的选择。【注意】该方法不能用在肯定性的判断上。3第1章算术【大纲考点】实数的概念、性质、运算及应用。【备考要点】这部分看似简单，但题目往往设有陷阱，容易出错，解题过程中需更加细心。1.1数的概念、性质与运算1实数的概念与性质（1）整数自然数N:,2,1,0；整数Z:,2,1,0,1,2,；分数:把1分成q等份，表示其中p份的数，称为分数,记为qp，其中q表示分母,p表示分子，读为q分之p。当pq时，qp称为真分数，如97,32；当pq时，qp称为假分数，如911,35；由一个整数和一个真分数合成的数称为带分数，873,321。分母为100的分数称为百分数，记为%x。整除:kqp，kqp,,均为整数。这里q称为p的约数，p称为q的倍数。若11kqp,22kqp，则称p为21,qq的公倍数，一般我们感兴趣最小公倍数;若11kqp，22kqp，则称q为21,pp的公约数，一般我们关心4最大公约数。我们可以把两个数的公倍数与公约数的概念推广到若干个数的情形。互质数：公约数只有1的两个数称为互质数。奇数：不能被2整除的数；偶数：能被2整除的数。注意，0是偶数。质数（素数）：只有1和本身两个约数；注意，2是唯一的既是质数又是偶数的整数，2是最小的质数，大于2的质数必为奇数。合数：（非质数，约数大于2），合数是若干个质因数的乘积。4是最小的合数。分数的分子、分母同乘或同除以一个非零数，其值不变，即aqapaqapqp，0a。由此，把一个分数化为与它等值，但分子、分母都较小的分数，称为约分。根据上述性质，可以把分数化为qp,互为质数，此时qp称为最简分数。（2）有理数与无理数任何可表为形如qp（其中qp,为整数，0q）的数称为有理数。正整数，负整数，正分数，负分数和零，统称有理数。有理数可表示为有限小数或无限循环小数。不能用有理数表示的数，称为无理数。如2，，e等。释例：证明2是无理数。反证法：设有分数qp，这里qp,互质，满足22qp，于是222qp，5故p为偶数；令rp2，代入上式得2222224rqqr，于是q亦为偶数，这与qp,互质矛盾。（3）实数：实数=有理数+无理数（无限不循环小数）。通常用R表示。实数与数轴上的点可建立一一对应关系。实数x既可称作数x，也可称为数轴上的点x。实数的有序性：即若ba,是任意两个实数，则必有ba，或ba，或ba。1.2数的分类按有理数、无理数分类：无限不循环小数负无理数正无理数无理数无限循环小数有限小数负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数实数,0按性质符号分类：负无理数负分数负整数负有理数负实数正无理数正分数正整数正有理数正实数实数01.3实数的运算实数的四则运算（加、减、乘、除）加法满足交换律和结合律；减法是加法的逆运算。abba，cbacbacba)()(，)(baba。乘法满足交换律、结合律和分配律；除法是乘法的逆运算。6abba，cbacbacba)()(。0,1bbaba。加法与乘法满足分配律。cabacba)(，cbcacba)(。实数的乘方与开方运算乘方运算：aaaan，10a，nnaa1；开方运算：nnaa1，这里若n为偶数，则要求0a。一般的nmnmaa，这里要求运算有意义。例1.1请你想好一个数，将它加5，将其结果乘以2，再减去4，将其结果除以2，再减去你想好的那个数，最后的结果等于E。A．21B．1C．23D．2E．3解：32)5(242)5(xxxx。1.4绝对值正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，零的绝对值还是零。00,,aaaaa。绝对值的性质（1）对称性aa；（2）等价性aa2，22aa；7（3）自比性aaa.0,0,1,1xxxxxx；（4）非负性0a；【常见考点】若干个非负性质的数之和为零时，则每个非负数均为零。（5）babababababa由abbabababa222)()(，故baba等价于0ab且ba；由abbabababa222)()(，故baba等价于0ab；baba等价于0ab且ba；baba等价于0ab。【常见考点】等号成立时的条件。1.5比和比例dcbadcba::。若0,0cba，则cbcaba。此因0)()(cbbbaccbcaba。正比例关系―两个数的比值一定)(kqp；反比例关系―两个数的乘积一定)(kpq。比例的几个重要定理（1）更比定理dbcadcba；（2）反比定理cdabdcba；（3）合比定理ddbcbadcba；8（4）分比定理ddbcbadcba；（5）合分比定理mdbmcadbcadcba；（6）等比定理fdbecafedcba。1.6平均值算术平均值设n个数naaa,,,21，称naaaxn21为这n个数的算术平均值，几何平均值设n个正数naaa,,,21，称nngaaax21为这n个正数的几何平均值。关于算术平均与几何平均的基本不等式（1）对一切Rba,，有abba222，baabba222；（2）对任意0a，0b，有abba2，baabba2；（1）的证明：abbaba20)(222。在（2）中，取01a，01b，可得调和平均不等式baababba1121211，事实上，对任意正整数)1(nn，若),,2,1(0niai，则调和平均、几何平均和算术平均成立如下的不等式naaaaaaaaannnnn212121111当且仅当naaa21时，等号成立。91.7题型归纳【题型1】考察质数、合数、奇数、偶数、最小公倍数等性质【提示】掌握并灵活应用这些性质例1.2记不超过10的素数的算术平均数为M，则与M最接近的整数是（）。（Ａ）２（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５（Ｅ）６解：不超过10的素数为2，3，5，7，（注意1不是素数）41447532M，故选C。例1.3某人左右两手分别握了若干枚石子，左手中的石子数乘3加上右手中的石子数乘4之和为29，则右手中的石子数为（）（Ａ）奇数（Ｂ）偶数（Ｃ）质数（Ｄ）合数（Ｅ）以上结论均不正确解：由左×３＋右×４＝２９，得右＝（２９－左×３）÷４为整数，必左手的数字为３或７时，才能整除，故右手的数字为５或２，均为质数，选Ｃ。例1.4一班同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，另一侧是两位异性同学，则这班的同学人数（）（Ａ）一定是4的倍数（Ｂ）不一定是4的倍数（Ｃ）一定不是4的倍数（Ｄ）一定是2的倍数，不一定是4的倍数（Ｅ）以上结论均不正确解：根据题意得到同学的排列规律：…男男女女男男女女…，即有偶10数个男生和偶数个女生，且男生女生人数相当，自然选Ａ。例1.5在一条3600m的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40m原已挖好一个坑，现改为每隔60m立一根电线杆，则需重新挖坑和填坑的个数分别是。A．50和40B．40和50C．60和30D．30和60E．50和50解：90403600；60603600。注意头尾均需竖立电线杆，则原需竖立电线杆91根，现需竖立电线杆61根。40与60的最小公倍数是120，则在每120m的区间内，原已有0m处，40m处，80m处，120m处各一个坑，现需改为0m处，60m处，120m处各一个坑，则需要重新挖一个坑和填两个坑，分析至此，对照五个答案，选D即可。进一步301203600，则挖坑数为30130，填坑数为60230。若改为植树或树广告牌等需公路两边都要做的问题，则数目通常要乘以2。【题型2】考察数的整除【提示】数的除法一般要涉及余数问题，当余数为零时，就称为整除。例1.6某校有若干女生住校，若每间房住4人，则还剩20人未住下，若每间房住8人，则仅有一间未住满，那么该校原安排女生房间数为（）。A．4B．5C．6D．7E．8解：设原安排女生房间数为x，依题意1171)1(8204xxx；58204xxx。当然75x，只能选C。例1.7若n是一个大于100的正整数，则nn3一定有约数（）A．5B．6C．7D．8E．9解：)1()1(3nnnnn，连续两个数相乘，一定可以被!2整除，连续三个数相乘，一定可以被!3整除，所以nn3一定有约数6!3，选B。例1.89121除以某质数，余数得13，这个质数是（）A．7B．11C．17D．23E．19解：2311949108139121，余数为13要大于这个质数，必取D。【题型3】计算含绝对值代数式的值【提示】掌握去绝对值符号的三种方法(1)确定绝对值符号内式子的符号，根据绝对值定义去掉绝对值符号；(2)利用平方法去掉绝对值符号；(3)根据绝对值的几何意义去掉绝对值符号。例1.9实数cba,,在数轴上的位置如题7图所示，其中O为原点，则代数式ccaabba。A．ca23B．caba2C．ba2D．a3E．cba解：cacacbabaccaabba23)()()(，选A。例1.10（2003.10）可以确定2yxyx。（1）3yx（2）31yx解：（1）00.2,224.3,03yyyyyxyxyxyyx，不充分；12（2）00.2,224.3,031xxxxyxyxxyyyx，不充分。（1）（2）联合时，313yx不能成立，选E。【题型4】考察绝对值的非负性质【提示】(1)有限个非负数（式子）之和为零，则其中每个非负数（式子）必为零；(2)有限个非负数（式子）之和仍为非负。例1.11已知0)2(12yxyx，那么xylog（）A．1B．0C．5D．16E．7解：根据非负性，01log.2,1.02,012