黄冈中学高考数学知识点与典型例题

黄冈中学高考知识点与典型例题集合敬请搜索“黄冈中学高考数学知识点”结合起来看效果更好第一部分高考数学知识点重点难点解集合题首先想到Φ=方程无解一，数学思想应用1、数形结合思想在解集合题中的具体应用:数轴法,文氏图法,几何图形法数几文2、函数与方程思想在解集合题中具体应用:函数法方程法判别式法构造法3、分类讨论思想在解集合题中具体应用:列举法补集法空集的运用数学结合4、化归与转化思想在解集合题中具体应用:列方程补集法文氏图法二,集合的含义与表示方法1、一般地，我们把研究对象统称为元素把一些元素组成的总体叫做集合2、集合元素三特性1.确定性；2.互异性；3.无序性3、a是集合A的元素，a∈Aa不属于集合A记作aA立体几何中体现为点与直线/点与面的关系元素与集合之间的关系UxAxCA,UxCAxA.4、非负整数集（自然数集）记作：N含0正整数集N*或N+不含0整数集Z有理数集Q实数集R3、集合表示方法：列举法描述法韦恩图4、列举法：把集合中的元素一一列举出来，用大括号括上。描述法：将集合中元素的共同特征描述出来，写在大括号内表用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。①语言描述法：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：不等式x-32的解集是{xR|x-32}{x|x-32}集合的分类：有限集无限集空集三、集合间的基本关系“包含”关系—子集BA有两种可能立体几何中体现为直线与面关系（a）A是B的一部分（b）A与B是同一集合。反之:ABBA（c）A∩B=ABACUBCUA（d）A∪B=BBACUBCUA（e）ABCUACUB2．“相等”关系(5≥5，且5≤55=5)①任何一个集合是它本身的子集。AA②真子集:如果AB且ABAB或BA③AB,BCAC④AB且BAA=BBABABA我们把不含任何元素的集合叫做空集，Φ规定:空集是任何集合的子集，ΦA空集是空集的子集ΦΦ空集是任何集合的子集该集合可为空集，必考虑Φ空集是任何非空集合的真子集ΦA∩BA∩B集合一定非空方程有解四、集合的运算1．A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、A∪B={x|x∈A，或x∈B}．且与或是区分交与并的关键3、交集与并集的性质：A∩A=AA∩φ=φA∩B=B∩AA∪A=AA∪φ=AA∪B=B∪A4、全集与补集（1）补集：CSA={xxS且xA}SCsAA（2）全集：含各个集合的全部元素U（3）性质：CU(CUA)=ACUU=ΦCUΦ=U(CUA)∩A=Φ(CUA)∪A=UCUA∪B=UBACUA∩B=ΦBA已知集合A、B，当BA时，你是否注意到“极端”情况：A∪B∪A∩B；求集合的子集时不能忘记1、对于含有n个元素的有限集合M,其子集个数，n2真子集，12n非空子集，12n非空真子集为.22n①交换律：ABBA；ABBA；②结合律：)()(CBACBA；)()(CBACBA③分配律：)()()(CABACBA；)()()(CABACBA④)(BAAABA)()()(BABAABBBAB)(BA)(BBA)()(BABABAABAABABA；BAUBACU)(；ABBACU)(；⑤反演律：BCACBACIII)(，并补补交BCACBACIII)(交补补并)()()(BACBCACUUU；补交并补)()()(BACBCACUUU补并交补BA中元素的个数的计算公式为：)()(BACardCardBCardABACard二并和减交)()(BACardCardBCardABACard二交和减并()()cardABCcardAcardBcardCcardAB()()()()cardABcardBCcardCAcardABC三并和减交加交ABAABBUUABCBCAUACBUCABR注意：讨论的时候不要遗忘了A的情况.3.①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的点集.②点集与数集的交集是.例：A={(x，y)|y=x+1}B={y|y=x2+1}则A∩B=包含关系：,,,,,;,;,.UAAAAUAUABBCACABAABBABAABBC等价关系：UABABAABBABUC求补律：A∩CUA=φA∪CUA=U吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A传递性：A⊂B且B⊂C⇒A⊂C；A⊆C，B⊆C⇒A∪B⊆CC⊆A，C⊆B⇒C⊆A∩B若A∪B=U且A∩B=Ø则B=AC。Ø⊆A⊆UA-B-C=A-(B+C)=A∩CU(B∪C)减交补三、经典例题导讲[例1]已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}错解：求M∩N及解方程组112xyxy得10yx或21yx∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},∴应选D．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．[例2]已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A∴BA又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或21或∴C={0，1，2}[例3]已知mA,nB,且集合A=Zaaxx,2|，B=Zaaxx,12|，又C=Zaaxx,14|，则有：（）A．m+nAB.m+nBC.m+nCD.m+n不属于A，B，C中任意一个错解：∵mA，∴m=2a,aZ,同理n=2a+1,aZ,∴m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：∵mA,∴设m=2a1,a1Z,又∵nB,∴n=2a2+1,a2Z,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2Z,∴m+nB,故选B.[例4］已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使BA，只须3351212ppp∴p的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了空集是任何集合的子集这一结论，即B=时，符合题设．正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴2≤p≤3②当B=时，即p＋12p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5]已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－21．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6]设A是实数集，满足若a∈A，则a11A，1a且1A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－a1∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A－1∈A21∈A2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A为单元素集合，则a＝a11即12aa＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈Aa11∈Aa1111∈A111aaA，即1－a1∈A⑷由⑶知a∈A时，a11∈A，1－a1∈A.现在证明a,1－a1,a11三数互不相等.①若a=a11,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠a11②若a=1－a1，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－a1③若1－a1=a11，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a1≠a11.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.[例7]设集合A={a|a=12n,n∈N+}，集合B={b|b=542kk,k∈N+}，试证：AB．证明：任设a∈A，则a=12n=(n＋2)2－4(n＋2)＋5(n∈N+),∵n∈N*，∴n＋2∈N*∴a∈B故①显然，1*2,1|NnnaaA，而由B={b|b=542kk,k∈N+}={b|b=1)2(2k，k∈N+}知1∈B，于是A≠B②由①、②得AB．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，x∈Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（）A．16B．14C．15D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，-2}B．{－2，－5}C．{±2，±5}D．{5，－5}3.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．PB．QC．D．不知道4.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q=B．PQC．P=QD．PQ5．若集合M＝｛11|xx｝，N＝{x|2x≤x}，则MN＝（）A．}11|{xxB．}10|{xxC．}01|{xxD．6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．7.设aR，函数2()22.fxaxxa若()0fx的解集为A，|13,BxxAB，求实数a的取值范围。8.已知集合A=012|2baxxx和B=0|2baxxx满足ICA∩B=2，A∩ICB=4，I=R，求实数a,b的值.典型例题讲解集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集