坐标法解立体几何--习题及解析

坐标法解立体几何1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}ijk表示；（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,}ijk，以点O为原点，分别以,,ijk的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫原点，向量,,ijk都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,,)xyz，使OAxiyjzk，有序实数组(,,)xyz叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,,)Axyz，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，则112233(,,)abababab，112233(,,)abababab，123(,,)()aaaaR，112233abababab，112233//,,()ababababR，1122330abababab．（2）若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则212121(,,)ABxxyyzz．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式：若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，则222123||aaaaaa，222123||bbbbbb．5．夹角公式：112233222222123123cos||||ababababababaaabbb．异面直线所成的夹角：6．两点间的距离公式：若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则2222212121||()()()ABABxxyyzz，或222,212121()()()ABdxxyyzz7、法向量①直线的法向量：在直线L上取一个定向量a，则与a垂直的非零向量n叫直线L的法向量错误!未找到引用源。平面的法向量：与平面垂直的非零向量n叫平面的法向量．构造直线或平面的法向量，在求空间角与距离时起到了桥梁的作用，在解题过程中只须求出而不必在图形中作出来．在空间直角坐标系下，构造关于法向量坐标的三元一次方程组，得到直线（或平面）的法向量坐标的一般形式，再取特值.其向上或向下的方向可根据竖坐标的符号来确定.一、平面的法向量例1已知AB=（2，2，1），AC=（4，5，3），求平面ABC的法向量解：设面ABC的法向量(,,)nxyz，则n⊥AB且n⊥AC，即n·AB=0，且n·AC=0，即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得1,2,xzyz∴n=z（21，－1，1）点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量。二、空间里的垂直关系1、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点证明AD⊥D1F；解：取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）∵DA·1DF=（2，0，0）·（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F2、如图，已知正三棱柱111CBAABC的棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点.在直线1CC上求一点N，使1ABMN；解：以1AAAC、分别为y轴、z轴，垂直于1AAAC、的Ax为x轴建立空间直角坐标系xyzA，设aCN||，则有、)0,0,0(A),1,0()0,43,43()2,21,23(1aNMB、、.得由MNABABaMN11),2,21,23(),,41,43(810281830)2,21,23(),41,43(01aaaABMN3、在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB=√2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BDF⊥平面ABCD.证明：∵ABCD为正方形，∴BC⊥AB，∵二面角D—AB—E为直二面角，∴BC⊥面AEB，以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，如图建立空间直角坐标系O—xyz，则A(0，－1，0)，ABCDA1B1C1D1EFxzyABCMN1A1B1CABCMN1A1B1CyzxB(0,1,0)，C(0,1,2)，D(0,－1,2),E(1，0,0)，∵F为CE上的点，EC=(－1,1,2),∴设EF=EC=(-,，2)，∴F（1-，，2），∴BF=(1-,1,2),AC=(0,2,2),AE=(1,1,0),∵BF⊥平面ACE，∴BFAC=2(1)4=0且BFAE=20(1)1x=0,解得，0x=1，=13，∴E（1,0,0），F(23，13，23)，（Ⅰ）AE=（1,1,0），BE=（－1,1，0）,∴AEBE=0,∴AE⊥BE,∵BC⊥面AEB,∴BC⊥AE,∴AE⊥平面BCE;（Ⅱ）面ABCD的法向量为OE=（1，0,0），设面BFD的法向量为m=（x，y，z），BF=(23,－23,23),BD=（0，－2，2），∴BFm=222333xyz=0且BDm=22yz=0，取z=1，则y=1，x=0，∴m=(0，1，1)，∴OEm=0，∴平面BDF⊥平面ABCD5平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且,21aADAFG是EF的中点，求证平面AGC⊥平面BGC；解：如图，以A为原点建立直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）证明：(,,0),(0,2,2)AGaaACaa(,,0),(0,0,2)BGaaBCa设平面AGC的法向量为111(,,1)nxy，1111111010(1,1,1)22010axayxAGnnayayACn设平面BGC的法向量为222(1,,)nyz，2222222001(1,1,0)2010BGnaayynazzBCn∴120nn即12nn∴平面AGC⊥平面BGC；三、空间里的平行关系1、在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1EABCDEFGxzy3、在正方体1111ABCDABCD，E是棱1DD的中点。在棱11CD上是否存在一点F，使1BF∥平面1ABE?证明你的结论。解：以A为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B(2,0,0),E(0,2,1),1A(0,0,2),1B(2,0,2)，∴BE=(－2,2,1),1BA=（－2，0，2），设面1BEA的法向量为m=（x，y，z），则BEm=22xyz=0且1BAm=22xz=0，取x=1，则z=－1，y=32，∴m=（1，32，－1）,假设在棱11CD上存在一点F，使1BF∥平面1ABE，设F(0x，2，2)（0≤0x≤2）,则BF=（02x，2，2），则BFm=031(2)2(1)22x=0，解得0x=1，∴当F为11CD中点时，1BF∥平面1ABE.四、空间的角1、直三棱柱111CBAABC中，若90BAC，1AAACAB，求异面直线1BA与1AC所成的角。如图建立空间坐标系，设异面直线1BA与1AC所成的角为，则||||||cos1111ACBAACBA，设AB=a，易求点B坐标：（0，a，)0，点1A坐标：0(，0，a），点A坐标：（0，0，0），点1C坐标：a(，0，a），所以0(1BA，a，a），1ACa(，0，a）2120)(0|00|cos22222222aaaaaaaaaa∴602、在四棱锥PABCD-中，ADAB^，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，2ABAD，直线PA与底面ABCD成60°角，点,MN分别是PA、PB的中点.（1）求异面直线DN与BC的夹角的余弦值；（2）求直线PA与面PBC所成的角正弦值；（3）求二面角P－NC-D的大小的余弦值.解析：以D为原点，向量DA,DC,DP的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立坐标系，设AD=1，则AB=2AD=2，∵PD⊥底面ABCD，∴∠PAD为直线PA与面ABCD所成的角，∴∠PAD=060，∴PD=3，∴D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),P(0,0,3),M(12,0,32),N(12,1,32)，(1)DN=(12，1，32)，BC=(－1,0，0)，∴异面直线DN与BC的夹角的余弦值为|cos,|DNBC=||||||DNBCDNBC=24.（2）PA=(1，0，－3)，PB=(1，2，－3)，设面PBC的法向量为m=（1x，1y，1z），直线PA与面PBC所成的角为，则PBm=11123xyz=0且BCm=－1x=0,取1z=2，则1x=0，1y=3，∴m=(0,2,3)，∴sin=|||PAPA|m|m|=217.(3)由（2）知面PBC的法向量为m=(0,2,3)，设面CDN的法向量为n=（2x,2y,2z）,∵DN=(12，1，32),DC=(0,2,0)，DP=（0，0，3）,∴DNn=2221322xyz=0且DCn=22y=0，取2z=1，则2x=－3，2y=0，则n=(－3，0，1)，∴cosm,n=|mn|m|n|=2114，又∵DPm=3＞0,DPn=3＞0,∴二面角P－NC-D的大小的余弦值为2114.【点评】（1）对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为m、n，在求出m、n的夹角，设两异面直线的夹角，利用cos=|cos|m,n求出异面直线的夹角，注意：异面直线夹角与向量夹角的关系；(2)对二面角l的大小问题，先求出平面、的法向量m、n，再求出m、n的夹角，在内取一点A，在内取一点B，设二面角l大小为，若ABn与ABm同号，则=m,n，若ABn与ABm异号，则=m,n，注意二面角大小与法向量夹角的关系.（3）对于线面夹角问题，求出线面夹角问题中，求出直线的方向向量m和平面法向量n，设线面角为，则直线方向向量m在平面法向量n方向上的投影的长度||mn|n|与直线方向向量m的模之|m|比|||mn|m|n|就是线面夹角的正弦值，即sin=|||mn|m|n|.3、如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，23AB.（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.解：如图建立空间坐标系，设直线AM与平面BCD所成的角的大小为θ，∵AB平面BCD∴BA是平面BCD的一个法向量故||||||sinBAAMBAAM点A坐标：（0，0，32）点B坐标：（0，0，0）点M坐标：（23，23，3）（注明：先作MO⊥CD于O，过点C作CE⊥BD于E，CG⊥y轴于G，过点O作OF⊥BD于F，OH⊥y轴于H，再利用坐标定义求出点M坐标）于是AM23(，23，3)，BA（0，0，32）∴222222)32(00)3()23()23(|323023023|sin126622∴45（2）易