2016届河南省洛阳市中成外国语学校高考数学一轮复习课件：坐标系与参数方程

选修4—4坐标系与参数方程从近几年的高考情况看,该部分主要有三个考点:一是平面坐标系的伸缩变换;二是极坐标方程与直角坐标方程的互化;三是极坐标方程与参数方程的综合应用.对于平面坐标系的伸缩变换,主要是以平面直角坐标系和极坐标系为平台,考查伸缩变换公式的应用,试题设计大都是运用坐标法研究点的位置或研究几何图形的形状.对于极坐标方程与直角坐标方程的互化,是高考的重点和热点,涉及直线与圆的极坐标方程,从点与直线、直线与圆的位置关系等不同角度考查,研究求距离、最值、轨迹等常规问题.极坐标方程与参数方程的综合应用,主要是以直线、圆和圆锥曲线的参数方程为背景,转化为普通方程,从而进一步判断位置关系或进行有关距离、最值的运算.预计2014年高考中,本部分内容主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化,考查简单曲线的极坐标方程和参数方程,试题多以填空题、解答题的形式呈现,属于中档题.热点一平面坐标系的伸缩变换【例1】在同一平面直角坐标系中,将直线x-2y=2变成直线2x'-y'=4,求满足图象变换的伸缩变换.解:设变换为𝑥'=𝜆𝑥,𝑦'=𝜇𝑦,代入第二个方程,得2λx-μy=4与x-2y=2比较,将其变成2x-4y=4,比较系数得λ=1,μ=4.∴伸缩变换公式为𝑥'=𝑥,𝑦'=4𝑦,即直线x-2y=2上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x'-y'=4.规律方法1.平面坐标系的伸缩变换对图形的变化起到了一个压缩或拉伸的作用,如三角函数图象周期的变化.2.设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:𝑥'=𝜆𝑥(𝜆0),𝑦'=𝜇𝑦(𝜇0)的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.拓展训练1在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换𝑥'=5𝑥,𝑦'=3𝑦后,曲线C变为曲线2x'2+8y'2=1,则曲线C的方程为()A.50x2+72y2=1B.9x2+100y2=1C.25x2+36y2=1D.225x2+89y2=1A解析:将𝑥'=5𝑥,𝑦'=3𝑦代入曲线方程2x'2+8y'2=1,得2·(5x)2+8·(3y)2=1,即50x2+72y2=1.热点二极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值.解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,直线的方程为3x+4y+a=0.由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即有|3×1+4×0+𝑎|32+42=1,解得a=-8或a=2.即a的值为-8或2.规律方法1.直角坐标和极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两个坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则x=ρcosθ,y=ρsinθ且ρ2=x2+y2,tanθ=𝑦𝑥(x≠0).这就是直角坐标和极坐标的互化公式.2.曲线的极坐标方程的概念在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0就叫做曲线C的极坐标方程.拓展训练2如图,在圆心的极坐标为A(4,0),半径为4的圆中,求过极点O的弦的中点的轨迹的极坐标方程,并将其化为直角坐标方程.解:设M(ρ1,θ1)是轨迹上任意一点,连接OM并延长交圆A于点P(ρ0,θ0),则有θ0=θ1,ρ0=2ρ1.由圆心为(4,0),则半径为4的圆的极坐标方程为ρ=8cosθ,所以得ρ0=8cosθ0,所以2ρ1=8cosθ1,即ρ1=4cosθ1,故所求轨迹的极坐标方程是ρ=4cosθ,它表示以(2,0)为圆心,2为半径的圆.因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,所以x2+y2=4x,即x2+y2-4x=0为所求轨迹的直角坐标方程.热点三参数方程与普通方程的互化【例3】把下列参数方程化为普通方程.(1)𝑥=3+cos𝜃,𝑦=2-sin𝜃;(2)𝑥=1+12t,𝑦=5+32t.解:(1)由已知cos𝜃=𝑥-3,sin𝜃=2-𝑦,由三角恒等式cos2θ+sin2θ=1,可知(x-3)2+(y-2)2=1,这就是它的普通方程.(2)由已知,得t=2x-2,代入y=5+32t中,得y=5+32(2x-2),即3x-y+5-3=0就是它的普通方程.规律方法1.参数方程部分,重点还是参数方程与普通方程的互化,主要是将参数方程消去参数化为普通方程.2.参数方程与普通方程的互化:参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常见方法有三种:①代入法:首先利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数;②三角法:利用三角恒等式消去参数;③整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去参数.化参数方程为普通方程F(x,y)=0:在消去参数的过程中注意变量x,y取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围,确定f(t)和g(t)的值域即x,y的取值范围.热点四极坐标方程与参数方程的综合应用【例4】(2013·山西太原模拟,23)平面直角坐标系xOy中,点A(2,0)在曲线C1𝑥=𝑎cos𝜑,𝑦=sin𝜑(a0,φ为参数)上.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=acosθ.(1)求曲线C2的普通方程;(2)已知点M,N的极坐标分别为(ρ1,θ),𝜌2,θ+π2,若点M,N都在曲线C1上,求1𝜌12+1𝜌22的值.解:(1)∵点A(2,0)在曲线C1上,∴2=𝑎cos𝜑,0=sin𝜑.∵a0,∴a=2,∴ρ=2cosθ.由𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃,得(x-1)2+y2=1.∴曲线C2的普通方程为(x-1)2+y2=1.(2)曲线C1𝑥=2cos𝜑,𝑦=sin𝜑消去参数φ,得𝑥24+y2=1.由题意得点M,N的直角坐标分别为(ρ1cosθ,ρ1sinθ),𝜌2cos𝜃+π2,𝜌2sin𝜃+π2,∵点M,N在曲线C1上,∴𝜌12cos2θ4+𝜌12sin2θ=1,𝜌22sin2θ4+𝜌22cos2θ=1,∴1𝜌12+1𝜌22=cos2θ4+sin2θ+sin2θ4+cos2θ=54.规律方法如果直接由曲线的极坐标方程看不出曲线是什么图形,往往先将曲线的极坐标方程化为相应的直角坐标方程,再通过直角坐标方程判断出曲线是什么图形.1.以平面直角坐标系的原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线𝑥=7cos𝜑,𝑦=7sin𝜑(φ为参数,φ∈R)上的点到曲线ρcosθ+ρsinθ=4(ρ,θ∈R)的最短距离是()A.0B.22−7C.1D.22B2.在极坐标系中,若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A,B两点,则|AB|=.233.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是𝑥=1+32t,𝑦=12t(t为参数).以O为极点,x轴正方向为极轴的极坐标系中,圆C的极坐标方程是ρ2-4ρcosθ+3=0.则圆心到直线的距离是.124.(2013·河南六市模拟,23)已知直线l的参数方程是𝑥=22t,𝑦=22t+42(t是参数),圆C的极坐标方程为ρ=2cos𝜃+π4.(1)求圆心C的直角坐标;(2)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.解:(1)∵ρ=2cosθ-2sinθ,∴ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ.∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y=0,即𝑥-222+𝑦+222=1,∴圆心C的直角坐标为22,-22.(2)直线l上的点向圆C引切线长是22t-222+22t+22+422-1=𝑡2+8t+40=(𝑡+4)2+24≥26,∴直线l上的点向圆C引的切线的最小值是26.本课结束谢谢观看