微分几何-陈维桓-习题答案

1习题答案1p.41习题2.31.求下列曲线的曲率：(2)()323()3,3,3rtttttt=−+；(4)()33()cos,sin,cos2rtttt=.解.(2)()22()31,2,1rtttt=−+，()2|()|321rtt=+,()()6,1,rttt=−,()22()()181,2,1rtrtttt=−−+,()2|()()|1821rtrtt=+,2213(1)t=+.(4)()1()sin23cos,3sin,42rtttt=−−，5|()||sin2|2rtt=,()()1()cos23cos,3sin,4sin23sin,3cos,02rttttttt=−−+,()()21()()sin23cos,3sin,43sin,3cos,04rtrtttttt=−−()23sin24cos,4sin,34ttt=−−，25|()()|sin24rtrtt=，225|sin2|t=，(2(21)tk+).4.求曲线222229,3xyzxz++=−=在()2,2,1处的曲率和密切平面方程.解.设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()rsxsyszs=,()(0)2,2,1r=，0(0)r=，00(0)r=.则(),(),()xsyszs满足题给的方程组，所以有2222212,26xyyz+=+=.对上式求导得22220,20,1xxyyyyzzxyz+=+=++=.(1)再求导，得22222(2),2(2),0xxyyxyyyzzyzxxyyzz+=−++=−+++=.(2)在()2,2,1处，由(1)解出2xyz=−=，13x=.不妨设122333,,xyz==−=.所以()()01,,1,2,23xyz==−.代入(2)得2242,,22033xyyzxyz+=−+=−−+=.所以001(0)(0,1,1)3r==−−，023=，01(0,1,1)2=−−.于是2()00011(0,1,1)(4,1,1)1,2,23232==−−=−−.所以在()2,2,1处，曲率为02/3=，密切平面方程为4(2)(2)(1)0xyz−+−−−=，即490xyz+−−=.7.证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线.证明.设曲线C的弧长参数方程为()rrs=，它的Frenet标架为;,,r，曲率和挠率分别为,.再设定点为a(常向量).由条件，a和()rs都在C的过()rs点的切线上，所以(())//()rsas−.故可设()()()rsass=+.对上式求导，利用Frenet公式可得()()()()()()ssssss=+.所以()0s=，C是直线.□p.47习题2.41.计算习题2.3第1题中各曲线的挠率.(2)()323()3,3,3rtttttt=−+；(4)()33()cos,sin,cos2rtttt=.解.(2)()22()31,2,1rtttt=−+，()2|()|321rtt=+,()()6,1,rttt=−,()22()()181,2,1rtrtttt=−−+，()2|()()|1821rtrtt=+，()()61,0,1rt=−，()216(),(),()rtrtrt=，()()222(),(),()1|()()|31rtrtrtrtrtt==+.2213(1)t=+(4)()1()sin23cos,3sin,42rtttt=−−，5|()||sin2|2rtt=,()()1()cos23cos,3sin,4sin23sin,3cos,02rttttttt=−−+,()()21()()sin23cos,3sin,43sin,3cos,04rtrtttttt=−−()23sin24cos,4sin,34ttt=−−，()()()2sin23cos,3sin,42cos23sin,3cos,0rttttttt=−−−+()1sin23cos,3sin,02ttt+−，25|()()|sin24rtrtt=，()333sin2(),(),()4trtrtrt=，()2(),(),()123|()()|25sin2rtrtrtrtrtt==,(2(21)tk+).225|sin2|t=4.假定()rrs=是正则弧长参数曲线，它的挠率0，曲率不是常数，并且3222111dads+=，(1)其中a为常数.证明该曲线落在一个球面上.证明.由条件(1)，求导得1111110dddddsdsdsds+=.因为不是常数，上式说明110dddsds+=.(2)设它的Frenet标架为;,,r.考虑向量函数111()()()()()()()drsrssssssds=++.(3)对上式求导，利用Frenet公式和(2)式，得111111[]()0ddddrdsdsdsds=++−+++−=.所以rc=是常向量.代入(3)得到111()()()()()()dcrssssssds−=+，()2222111()darscds=+=−.这说明()rs在以c为中心，以a为半径的球面上.□10.设()rt是单位球面上经度为t，纬度为2t−的点的轨迹.求它的参数方程，并计算它的曲率和挠率.解.单位球面的参数方程为coscos,cossin,sinxyz===，(,)[/2,/2][,]−−.其中为经度，为纬度.将,2tt==−代入，得曲线的参数方程()2()sincos,sin,cosrttttt=.于是()()cos2,sin2,sinrtttt=−，2|()|1sinrtt=+.()()2sin2,2cos2,cosrtttt=−−，()()()2sincos2cossin2,2sinsin2coscos2,2rtrttttttttt=−+()()2sincos2(0,0,1)cos2,sin2,0sin2,cos2,0tttttt=++−，22|()()|cos4(1sin)rtrttt=++.()()()4sin(0,0,1)4cos2,4sin2,sincos2,sin2,0rttttttt==−+−−,()6sin(),(),()trtrtrt=−.所以4()223/232cos4(1sin)|()()||()|1sinttrtrtrtt++==+，()222(),(),()6sin|()()|cos4(1sin)rtrtrttrtrttt−==++.p.55习题2.51，6.设正则曲线C的曲率处处不为零.则下述命题是等价的：(a)C是一般螺线(即C的切向量与固定方向成定角)；(b)C的主法线与固定平面平行；(c)C的挠率与曲率之比:是常数.证明.设曲线C的弧长参数方程为()rrs=，它的Frenet标架为;,,r，曲率和挠率分别为0,.(a)(b).设固定方向的单位向量为n.则cos(,)nn=是常数.因为0，求导得到0n=，即主法线方向与固定方向n垂直.所以主法线与以n为法向量的一个固定平面垂直.(b)(c).设固定平面的单位法向量为n.则0n=.于是()0dnnds==.这说明cosn=是常数，其中(,)n=.因为0n=，可设()()()()nssss=+.用()s与等式两边作内积，得()()cosssn==是常数.再由n是单位向量可知222()1()sinss=−=也是常数.不妨设sin=，则上式成为cos()sin()nss=+求导得到0[cos()sin()]()sss=−.所以():()cotss=是常数.(c)(a).设():()cotss=是常数.令()cos()sin()nsss=+.则()[cos()sin()]()0nssss=−=.所以n是常向量，从而切方向与固定方向n成定角(,)n=.□4.证明：曲线()(3sin,2cos,3sin)rtttttt=+−和曲线122()(2cos,2sin,)uuruu=−可以通过刚体运动彼此重合.证明.对曲线1:C11()rru=作参数变换2uv=，可知1C是圆柱螺线：1(2cos,2sin,2)rvvv=−.(2,2ab==−)它的曲率和挠率分别为114=，114=−.因此只要证明曲线:C()rrt=的曲率14=，挠率14=−，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合.直接计算可得5()(13cos,2sin,3cos)rtttt=+−−，|()|22rt=，()(3sin,2cos,sin)rtttt=−−，()()(23cos2,4sin,232cos)rtrtttt=−−−−2(13cos,2sin,3cos)ttt=−−+，|()()|42rtrt=，14=.()(3cos,2sin,cos)rtttt=−，()8(),(),()rtrtrt=−，14=−.□注.此类证明题，一般是由等式1()()tu=确定一个函数()uut=，然后证明1()(())tut=.p.63习题2.62.作正则参数曲线C关于一张平面的对称曲线C.证明：曲线C和C在对应点的曲率相同，挠率的绝对值相同而符号相反.证明.设曲线C的弧长参数方程为()rrs=，它的Frenet标架为;,,r，曲率和挠率分别为0,.再设是过定点a，以n为单位法向量的平面.由上图可见()rsOR=在n方向的投影向量[()]PRnrsn=，从而()rs在平面上的投影向量()()[()]OPrsPRrsnrsn=−=−.同理，a在n方向的投影向量()PQnan=.用11()rsOR=表示()rs关于平面的对称点.由于Q是R和1R的中点，12PRPRPQ+=，所以111()2()[()]2()[()]()2[()]2().rsOROPPROPPQPRrsnrsnnannrsnrsnrsnnan==+=+−=−+−=−+求导得1()()2[()]rssnsn=−，2221|()|14[()]4[()]1rsnsns=−+=.()rs1()rsOnaPQ1RR6所以s也是C的弧长参数.设C的Frenet标架为1111;,,r，曲率和挠率分别为1和1.则112()rnn==−.再求导，得1112()[2()]nnnn==−=−.于是11||2()nn==−=，12()nn=−.由此得1112()2()2[()()]2[()]2()2(),nnnnnnnnnnnnn==−−=−−=−=−=−+2111[2()][2()][2()]nnnnnn=−=−+−=−−=−.所以有1=，1=−.□3.如果正则参数曲线的向径()rs关于弧长s的n阶导数是()()()()()()()()nnnnrsassbsscss=++，求它的1n+阶导数.解.由Frenet公式可得(1)()()()().nnnnnnnnnnnnnnraabbccabba