2019届上海市建平中学高三三模数学试题(解析版)

第1页共18页2019届上海市建平中学高三三模数学试题一、单选题1．若实数x、y满足1002xyxx，则yx的取值范围是（）A.3(0,]2B.3(0,)2C.3(,)2D.3[,)2【答案】D【解析】根据不等式组作出可行域，根据yx的几何意义：可行域内的点与原点0,0连线的斜率，据此计算出yx的取值范围.【详解】作出可行域如下图：由图可知：当点在直线1yx上时，此时斜率最小为：303202，当点靠近y轴上，此时斜率yx，所以3,2yx.故选：D.【点睛】线性规划中常见的几种非线性目标函数的几何意义：（1）ybzxa，表示可行域内的点与点,ab连线的斜率；（2）22zxayb，表示可行域内的点到点,ab的距离；（3）zAxByC，表示可行域内的点到直线0AxByC距离的22AB倍.2．设，则的值为（）第2页共18页A．2B．0C．D．1【答案】C【解析】分别令和即可求得结果.【详解】令，可得：令，可得：故选：【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.3．若函数()12fxxxa的最小值3，则实数a的值为（）A．5或8B．1或5C．1或4D．4或8【答案】D【解析】试题分析：由题意，①当12a时，即2a，3(1),2(){1,123(1),1axaxafxxaxxax，则当2ax时，min()()1322aafxfaa，解得8a或4a（舍）；②当12a时，即2a，3(1),1(){1,123(1),2xaxafxxaxaxax，则当2ax时，min()()1322aafxfaa，解得8a（舍）或4a；③当12a时，即2a，()31fxx，此时min()0fx，不满足题意，所以8a或4a，故选D.4．已知异面直线a、b成60°角，其公垂线段为EF，||2EF，长为4的线段AB的第3页共18页两端点分别在直线a、b上运动，则AB中点的轨迹为（）A.椭圆B.双曲线C.圆D.以上都不是【答案】A【解析】根据条件画出合适的示意图，确定,ABEF的中点,OP所在的平面，建立合适坐标系，先根据余弦定理求出,OMON之间的关系，然后利用P的坐标形式表示出,OMON之间的关系，由此得到对应的轨迹形状.【详解】如图所示：设EF的中点为O，过O作EF的垂面，则AB的中点P必在平面内，设,AB在平面内的射影点为,MN，因为2APBP，1AMBN，所以23MN，以MON的角平分线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示：设OMm，ONn，由余弦定理可知：2220122cos60MNmnmn，所以2212mnmn，第4页共18页又因为30MOxNOx，设,Pxy，所以322122xmnymn，所以23232323mxynxy，将上述结果代入等式2212mnmn中化简可得：2219xy，故轨迹是椭圆.故选：A.【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，难度较难.处理立体几何中的轨迹问题的方法：首先根据空间中的点线面位置关系确定出线段的长度，然后将问题统一到一个平面中并在该平面中建立合适的平面直角坐标系，借用坐标表示线段间的长度关系，进而化简可得轨迹方程即可判断轨迹形状.二、填空题5．已知集合2{|log1}Axx，1{|0}2xBxx，则AB________.【答案】(0,1)【解析】根据对数不等式以及分式不等式的解法求解出对应解集即为集合,AB，然后由交集运算计算出AB的结果.【详解】因为2log1x，所以02x，所以0,2A，又因为102xx，所以120xx，所以2,1B，则0,1AB.故答案为：0,1.【点睛】（1）解分式不等式注意将其先转变为整式不等式的形式，然后再求解集；（2）解对数不等式时要注意到对数的真数大于零这一隐含条件.6．已知复数z满足(1i)1iz，则Re()z________第5页共18页【答案】0【解析】先根据复数的除法计算出z的结果，然后即可判断出z的实部是多少.【详解】因为11121112iiiiziiii，所以Re0z.故答案为：0.【点睛】本题考查复数的除法运算以及复数的虚、实部辨别，难度较易.复数的除法运算时注意分母实数化.7．已知点(2,1)A、(3,5)B、(5,2)C，则△ABC的面积是________.【答案】112【解析】根据ABACuuuruuur以及AB、AC计算出sinA的值，然后根据面积公式1sin2SABACA计算出三角形面积.【详解】因为1,4AB，3,1AC，所以7ABAC，17AB，10AC；所以cos7ABACABACA，所以7cos170A，所以2711sin1170170A；故111111sin1710222170SABACA.故答案为：112.【点睛】本题考查根据点的坐标求解三角形面积，难度较易.本例的另一种思路：求解出三条边的长度，利用余弦定理求解出其中一个角的余弦然后求其正弦，最后利用面积公式求三角形面积.8．若1()21xfxa是奇函数，则a．【答案】12第6页共18页【解析】12(),()()2112xxxfxaafxfx2112()2112211212xxxxxxaaa，故12a。9．已知直线1:3410lkxky与2:23230lkxy平行，则k的值是__________．【答案】3或5【解析】由两直线平行得，当30k时，两直线的方程分别为1y与32y，显然两直线平行，当30k时，由3412323kkk，可得5k，综上所述，k的值是3或5，故答案为3或5.【方法点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212||llkk；（2）12121llkk，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.10．若不等式26ax的解集为(1,2)，则实数a的值为________．【答案】4【解析】【详解】因为不等式26ax的解集62684axax840xaaa（舍），48(0)xaaa,=4a，故答案为4.11．设函数2()1logfxx的反函数为1()fx，则1()fx的值域为________.【答案】(0,2]【解析】利用反函数的值域就是原函数的定义域这一结论，根据对数的真数大于零、根号下被开方数大于等于零求解出fx定义域即为1fx的值域.【详解】第7页共18页因为2()1logfxx，所以201log0xx，所以0,2x，又因为根据反函数与原函数的关系可知：fx定义域即为1()fx的值域，即为0,2.故答案为：0,2.【点睛】本题考查反函数与原函数的关系，难度较易.注意原函数的定义域和反函数的值域是相同的.12．某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是________.【答案】12【解析】根据三视图确定出三棱锥的底面是一个等腰直角三角形且直角边长度都是2，高为3；半圆锥的底面是半径为1的半圆，高为3；据此计算出该几何体的体积.【详解】由三视图可知，三棱锥的体积：1223132V；半圆锥体积：11113232V，所以总体积为：12.故答案为：12.【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，难度较易.计算组合体的体积时，可将几何体拆分为几个容易求解的常见几何体，然后根据体积公式完成求解.13．已知方程221xyab表示的曲线为C，任取,{1,2,3,4,5}ab，则曲线C表示焦距等于2的椭圆的概率等于________.【答案】825第8页共18页【解析】根据焦距为2可知1ab，由此可计算满足条件的,ab的组数，再根据总的组数可利用古典概型概率计算公式完成概率求解.【详解】所有可能的,ab的组数为：5525，又因为焦距22c，所以1c，所以1ab，则满足条件的有：1,2,2,3,3,4,4,5,5,4,4,3,3,2,2,1，共8组，所以概率为：825P.故答案为：825.【点睛】椭圆的标准方程有两种，确定椭圆方程时要防止遗漏.确定椭圆需要两个条件：（1）焦点在哪条坐标轴上（定位），（2）确定,ab的值（定量），因此如果定位条件不足应分类讨论.14．已知()2sin()6fxx(0)和()2cos(2)1gxx的图像的对称轴完全相同，则[0,]2x时，()fx的取值范围是________.【答案】[1,2]【解析】首先根据fx与gx对称轴相同得到fx与gx周期相同，由此计算出的值；再根据[0,]2x求解出6x的范围，根据sinyx的单调性确定fx的取值范围.【详解】因为fx与gx对称轴相同，所以fx与gx周期相同，所以22，所以2sin26fxx；又因为0,2x，所以52,666x，所以max2sin22fx，min2sin16fx，所以1,2fx.第9页共18页故答案为：1,2.【点睛】（1）当正弦型函数与余弦型函数的对称轴相同时，则两个函数对应的的绝对值也相同；（2）求解正弦型函数sinfxAx的值域，可采用整体替换的方法令tx，计算出sinyt的取值范围即为fx的值域.15．已知双曲线22221xyab(0,0)ab，过双曲线上任意一点P分别作斜率为ba和ba的两条直线1l和2l，设直线1l与x轴、y轴所围成的三角形的面积为S，直线2l与x轴、y轴所围成的三角形的面积为T，则ST的值为________.【答案】2214ab【解析】设出P点坐标00,xy，根据点斜式方程写出12,ll的方程，并求出12,ll与坐标轴交点的坐标，从而可求出,ST的值，最后计算并化简ST的结果.【详解】设00,Pxy，所以100:blyxxya，令0x，所以00bxyya，令0y，所以00ayxxb，所以2000000122bxaybxaySyxabab；又200:blyxxya，令0x，所以00bxyya，令0y，所以00ayxxb，所以2000000122bxaybxayTyxabab；所以22222222002222221444bxayabSTababab.故答案为：2214ab.【点睛】本题考查双曲线中的定值问题的计算，难度一般.定值问题的计算步骤：（1）根据条件列出已知量；（2）表示出待求值，运用双曲线的方程做变形、化简，最后得到结果.16．已知平面向量PA、PB满足22||||4PAPB，2||2AB，设2PCPAPB，第10页共18页则||PC________.【答