优化模型的三要素

优化模型的三要素优化模型xf(x)（2）目标函数，通常是某一问题需要优化（最大或最小）的那个目标的数学表达式，它是决策变量的函数，可以抽象的记作；12nnxx,x,xxT（1）决策变量，通常是某一问题需要求解的未知量，用维向量=表示，当对赋值后它通常称为该问题的一个解；01212ijxxxh(x)i,,mg(x)j,,n（3）约束条件，由该问题对决策变量的现实条件给出，即允许的取值范围为，称为可行域，常用一组关于的等式和（或）不等式0来界定，分别称为等式约束和不等式约束。012012optzf(x)s.t.h(x)i,,,mg(x)j,,,n于是，优化模型从数学上可以表述为这里opt最优化的意思，可以是min（求极大，即minamize的缩写）或max（求极小，即minamize的缩写）的两者之一；s.t.（即subjectto）“受约束于”之意。（1）（2）（3）优化模型基本类型1.决策变量x的所有分量xi均为连续数值a）f,hi,gi都是线性函数，则为线性规划（LP）b）f,hi,gi至少有一个是非线性，则为非线性规划（NLP）c）f是二次函数,hi,gi都是线性，则为二次规划（QP）2.决策变量x的的一个或多个分量xi取离散值a）x的至少一个分量只取整数数值，则为整数规划（IP）b）x的分量限定只取整数0或1，则为0-1规划（ZOP）3.此外，为了解决实际问题的需要，还可以分为：单目标规划，多目标规划，动态规划，多层规划等。1112012niiiniiiiiiiminfxcx,i,,...,naxb,b,b,s.t.x,i,,...,n（1）线性规划（LP）的一般形式目标函数和所有的约束条件都是变量的线性函数。常用的优化模型形式（2）二次规划问题目标函数为二次函数，约束条件为线性约束。11112012nniiijijii,jniiiiiiiminfxcxbxxaxb,b,b.s.t.x.i,j,,...,n.常用的优化模型形式1456750xxxxx例-1某服务部门一周中每天需要不同数目的雇员：周一到周四每天至少需要50人，周五需要80人，周六和周日需要90人。现规定应聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周一到周日每天聘用多少人，是5在满足需要的前况下聘用总人数最少？优化模型决策变量：记周一到周日每天聘用的人数分别为X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7，这就是问题的决策变量。目标函数：目标函数即是聘用总人数，即约束条件：由每天需要的人数确定。由于每人连续工作五天，所以一周的雇员应该是周四到周一聘用的，按照需要至少50人，于是1234567zxxxxxxx线性规划模型125671236712347123452345634567505050809090xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx类似的，有显然，人数应该是正整数，所以01,2,7ixi问题归结为在以上约束条件下求解minz的整数规划模型。由于目标函数和约束条件关于决策变量都是线性函数，所以这是一个整数向行规划模型。线性规划模型例-2某班准备从5名游泳队员中选择4人组成接力队，参加学校的4*100混合泳接力比赛。5名队员4中泳姿的百米平均成绩如下表所示，问应该如何选拔队员组成接力队？表一：5名队员4中泳姿百米平均成绩队员甲乙丙丁戊蝶泳1’06”857”21’18”1’10”1’07”4仰泳1’15”61’06”1’07”81’14”21’11”蛙泳1’27”1’06”41’24”61’09”61’23”8自由泳58”653”59”457”21’02”4线性规划模型问题分析：问题要求从5名队员中选出4人组成接力队，每人一种泳姿，且四人的泳姿各不相同，使接力队成绩最好。容易想到穷举法，组成接力队的方案有5！=120中，逐一计算并做比较即可找出最优方案。显然这不是解决问题的最好方法，随着问题规模的变大，穷举法的计算量是无法接受的。可以用0-1变量表示一个队员是否入选接力队，从而建立这个问题的0-1规划模型.线性规划模型记甲、乙、丙、丁、戊分别为队员i=1，2，3，4，5；记蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳分别为泳姿j=1，2，3，4；记队员i的第j种泳姿的百米成绩为cij（s），则表一可以表示成为：表二：5名队员4中泳姿百米平均成绩队员甲乙丙丁戊蝶泳66.857.2787067.4仰泳75.66667.874.271蛙泳8766.484.669.683.8自由泳58.65359.457.262.4线性规划模型目标函数：当队员队员i入选泳姿j的比赛时，cijxij表示他的成绩，否则cijxij=0。于是接力队的成绩可以表示为：决策变量：引入0-1变量xij若选择队员i参加泳姿j的比赛，记xij=1，否则记xij=0.这就是问题的决策变量，共20个。①每人最多只能入选4种泳姿之一，即对于员i=1，2，3，4，应该有：约束条件：根据组成接力队的要求，xij应该满足下面两个约束条件：·4511ijijjifcx411ijjx②每种泳姿有且只能有1人入选，即对于员j=1，2，3，4，5，应该有：511ijix线性规划模型综上所述，这个问题的优化模型可以写作：45114151min;1,1,2,3,4,5;..1,1,2,3,4;0,1;ijijjiijjijiijcxxistxjx这是一个线性0-1规划模型，它是一个特殊的线性整数规划。Lingo/Lindo软件介绍这套软件包由美国芝加哥大学的LinusScharge教授于1980年前后开发，专门用于求解最优化问题，后经不断完善和扩充，并成立LINDO公司进行商业化运作，取得了巨大的成功。全球《财富》杂志500强的企业中，一半以上使用该公司产品，其中前25强企业中有23家使用该产品。该软件包功能强大，版本也很多，而我们使用的只是演示版（试用版），演示版与正式版功能基本上是类似的，只是能够求解问题的规模受到限制，总变量数不超过30个，这在我们目前的使用过程中，基本上是足够。Lingo/Lindo软件介绍Lingo/Lindo软件求解的优化模型类型见下图：优化模型连续模型整数模型线性规划二次规划非线性规划LindoLingoLingo/Lindo软件介绍Lindo是英文LinearInteractiveandDiscreteOptimizer字首的缩写，即“交互式的线性和离散优化求解器”，可以用来求解线性规划（LP）和二次规划（QP）；Lingo是英文LinearInteractiveandGeneralOptimizer字首的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”，它除了具有Lindo的全部功能外，还可以用来求解非线性规划。Lingo和Lindo的最大特色在于可以允许决策变量是整数，而且执行速度很快；Lingo实际上还是一种建模语言，即使对优化方面的专业知识了解不多的用户，也能方便的进行输入、求解，并能快速的得到复杂优化问题的高质量的解。解决一个简单的线性规划（LP）问题23431035120maxzxyxys.t.xyx,yLingo/Lindo软件介绍---Lindo《其Lindo程序为：例-3Lingo/Lindo软件介绍---Lindo①Lindo程序以“MAX”（或“MIN”）表示目标是求最大化（最小化）问题，后面直接写目标函数的表达式和约束的表达式条件，目标函数和约束之间以“ST”分开；程序以“END”（也可以省略）结束；②输入格式与数学模型表达式几乎完全一样，连系数之间的乘号都一样省略了，而且必须省略；③在Lindo模型中的书写是相当灵活的；并且Lindo中已假定所有变量非负，也不区分大小写；约束条件中的“=”及“=”可分别用“”“”代替；输入的多于空格和回车也会被忽略；④一行中“！”后面的文字将被认为是说明语句，不参与模型的建立，主要目的是增加程序的可读性。我们从这段程序可以看出Lindo模型有以下特点：现在我们用Lindo软件来求解这个模型，单击工具栏中的图标，便得到以下运行状态窗口：Lindo求解器运行状态窗口各项的含义名称含义Status显示当前求解状态：Optimal表示已经达到最优解；其他可能的显示：Feasible，Infeasible，UnboundedIterations显示迭代次数Infeasibility约束不满足的量；0表示这个解是可行的Objective显示当前解的目标函数值BestIP显示整数规划当前解的最佳标函数值：N/A表示无答案或无意义IPBound显示整数规划的界Branches显示分支定界算法已经计算的分支数：N/A表示无答案或无意义ElapsedTime显示计算所用时间：0：00说明计算太快，用时还不到0.05SUpdateTime显示控制和刷新本界面的时间间隔InterruptSolver中断求解程序Close关闭该窗口添加Lindo求解器显示结果如下•单纯行法迭代两次得到最优解•最优目标值•最优解各变量的值•对偶价格•影子价格：表示该非基变量增加一个单位而其他变量不变时目标函数减少的量（对max型问题）•松弛变量的值【紧约束】•单纯行法进行两次迭代Lingo/Lindo软件介绍---Lindo①变量以字母开头、不区分大小写，变量名可不超过8个字符；②变量不能出现在约束条件的右端，右端只能是常数；变量与系数之间可以有空格，但绝对不能有任何运算符；③Lindo中不接受”（）“和逗号”，“等任何运算符号（除非在注释语句中）；④模型中的表达式应当经过化，如不能出现（X+1）2+2X2+3Y，而应该写成3X2+2X+3Y+1；⑤模型中已假定所有变量非负，可在模型的”end“语句后面用命令”free“取消变量的非负假定，其用法是在”free“后面跟变量名；⑥在模型的”end“语句后面可以用命令”SUB“设定变量的上界，用命令”SLB“设定变量的下界；⑦Lindo中以“！”开始的是说明语句，说明语句也以“;”结束。使用Lindo软件的一些注意事项：Lingo/Lindo软件介绍---Lindo下面我们用一个例子来说明Lindo中三个变量范围限制命令（FREE、SBU、SLB）的作用和使用方法：例-4max234..4321035125852020,30xyzSTxyzyyzxyzxyzyz在这个模型中，对变量x没有非负限制，对y有上限限制，对z有下限限制；分别用FREE、SBU、SLB三个命令可以实现这些功能。具体输入如下：图a：例4的输入模型图b：例4的输出结果Lingo/Lindo软件介绍---LingoLingo9.0软件比以前的版本有了很大的改进，功能大大增强，性能更加稳定，结果更加可靠；从基本更能上看，与Lindo相比，Lingo软件主要具备以下优点：①除具备Lindo饿全部功能外，还可以用于求解非线性规划问题；②Lingo包含了内置的建模语言，允许以简练、直观的方式描述较大规模的优化问题，模型中所需的数据可以以一定的格式保存在独立的文件中。事实上，Lindo公司目前已经将Lindo软件从其产品目录中删除，而将Lindo软件的所有功能都在Lingo中得到了支持，所以在不久的将来总有一天人们会废弃Lindo软件不再使用，但Lingo的生命力应该还是很顽强的！Lingo/Lindo软件介绍---Lingo对前面的线性规划模型，编写Lingo程序如下：点击图标运行，屏幕上显示运行状态窗口如下：对于Lingo运行状态窗口，我们给于以下解释：变量数目：变量总数（Total）、非线型变量数（Nonlinear）、整数变量数（Integer）约束变量