线性代数第一章(1)

教材：《线性代数》,吴传生主编,2015年12月第3版,高等教育出版社参考书：1．吴赣昌主编，《线性代数》，中国人民大学出版社，第4版;2．SergeLang，《IntroductiontoLinearAlgebra》，Springer;3．钱吉林编著，《高等代数题解精粹》，中央民族大学出版社.作业上交时间和顺序：第3次，5次，7次…课前交作业，过期不予弥补，视为缺一次作业。期末考核形式：考试（课程试卷；闭卷）成绩评定：平时成绩占40分，期末考试占60分平时成绩组成：课堂考勤12分，课外作业12分期中测验12分，课程论文4分第一章行列式第一节全排列及其逆序数举例：用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？六种：123132213231312321定义1：把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的一个全排列（简称排列）。n个不同元素的所有排列的种数通常用表示,nnP!nPn定义2:对于个不同的元素,先规定各元素之间有一个标准次序,这个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有一个逆序,一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数，排列的逆序数记为。nn12nppp12()nppp逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的排列为偶排列。举例：求排列32514的逆序数。定理1:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。推论：奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。1、二阶行列式的定义1112112212212122aaaaaaaa第二节行列式的定义n一、行列式的定义(12)(21)11221221(1)(1)aaaa2、三阶行列式的定义(123)(132)(213)112233111312122133(1)(1)(1)aaaaaaaaa(231)(312)(321)122331132132132231(1)(1)(1)aaaaaaaaa111213212223112233122331132132132231112332122133313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa3、阶行列式的定义n定义1：设有个数，排成行列的数表令为数的所有排列所组成的集合，称代数和为阶行列式。2nnnn111212122212nnnnnnaaaaaaaaaT1,2,,n121212()12(1)nnnpppppnppppTaaa记作，简记为，称为行列式的元素。nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211)det(ijaija)det(ija定理1：阶行列式也可定义为其中的是由数的所有排列所组成的集合。n121212()12(1)nnnqqqqqqnqqqTDaaaT1,2,,n1、对角行列式由行列式的定义可以证明对角行列式nn2121nnnn212)1(21)1(二、特殊行列式2、三角形行列式称为下三角形行列式，为上三角形行列式。nnnnaaaaaa21222111000nnnnaaaaaa00022211211对于下三角形行列式，有nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000第三节行列式的性质对一般的高阶行列式采用定义来进行计算，是很复杂的，如何计算高阶行列式呢？记，称行列式为行列式的转置行列式，记作。nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnaaaaaaaaa212221212111TDD性质1：行列式与它的转置行列式相等。nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000由此可知性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。推论1：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数，等于用数乘此行列式。kk推论2：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论3：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。nnnniniinnnnnniniinnnnnnininiiiinnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21''2'122221112112121222211121121''22'112222111211性质4：nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaa'212'2222211'111211nnninnnininnninnniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa'212'222211'1121121222221111211性质5：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。（注：这是一个很重要的性质，我们经常利用这条性质将一般的行列式变换成三角形行列式来进行行列式的计算）例1：计算3351110243152113D例2：计算dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD3610363234232例3：设，，，证明：。nnnnknknkkkkkbbccbbccaaOaaD11111111111kkkkaaaaD11111nnnnbbbbD1111221DDD例如计算3212522596141870003100052第四节行列式的按行（列）展开除了采用行列式的性质外，还有其它方法能计算高阶行列式吗？定义1：在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，所得到的阶行列式叫做元素的余子式，记作，称为元素的代数余子式，记作。nijaij1nijaijMijjiM)1(ijaijA引理：一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，则这个行列式等于与它的代数余子式的乘积。niijaija定理1：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：或ininiiiiAaAaAaD2211njnjjjjjAaAaAaD2211这个定理叫做行列式按行（列）展开法则，利用这个法则可将高阶行列式降为低阶行列式来进行行列式的计算。定理2：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即或02211jninjijiAaAaAaji02211njnijijiAaAaAaji例1：利用按行（列）展开法则计算3351110243152113D例2：计算行列式xaaaaaaxaaaaaxannnnnn2322121111111例3：设3351110243152113D求和。11121314MMMM11121314AAAA例4：计算nnnnaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxD321321321321例4：计算dcdOcdcObaObOabaD例5：证明范德蒙德（Vandermonde）行列式1112112222121)(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD第五节克拉默法则行列式有何作用呢？对于方程组的解为22221211212111bxaxabxaxa222112112221211aaaaababx222112112211112aaaababax对于含有个未知数的个线性方程组成的方程组(1)nnxxx,,,21nnnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111有以下结论：定理1：如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,即那么,方程组(1)有唯一解0212221212111nnnnnnaaaaaaaaaDDDxDDxDDxnn,,,2211这里的nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111,111,111这个定理被称为克拉默法则，这个定理也可叙述为：如果线性方程组（1）的系数行列式，则（1）一定有解，且解是唯一的。0D它的逆否定理为：如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式。0D例1：解线性方程组067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx当线性方程组（1）中的不全为零时，称方程组(1)为非齐次线性方程组，当全为零时，称方程组（1）为齐次线性方程组。nbbb,,,21nbbb,,,21对于齐次线性方程组(2)000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa一定是它的解，称这个解为方程组（2）的零解。021nxxx除了零解外，齐次方程组（2）在什么条件下还有其它解呢？定理2：如果齐次线性方程组（2）的系数行列式，则（2）没有非零解。0D它的逆否定理为：如果齐次线性方程组（2）有非零解，则（2）的系数行列式。0D例2：问取何值时，齐次线性方程组有非零解。0)4(20)6(2022)5(zxyxzyx这里我们所讨论的方程组中，未知数的个数与方程的个数是相同的情况，我们将在第3章讨论未知数的个数与方程的个数是不相同的方程组的解。