【学生讲义】巧解外接球问题

有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第1页/共6页快速解决巧解外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题【例1】（上海中学）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________.【例2】（交大附中）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的有关问题【例3】（复兴高级中学）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为______________.【例4】（七宝中学）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A.16B.20C.24D.32有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第2页/共6页3.求多面体的外接球的有关问题【例5】（上海实验中学）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为______________..二、构造法(补形法)1、构造正方体【例6】（2015年上海高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.【例7】（上海中学）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.【小结】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为abc、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2222Rabc.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长即有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第3页/共6页【例8】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。【例9】（建平中学）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3B.4C.33D.6【例10】（华二附中）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，0DAB=60，E为AB的中点，将ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使AB、重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）.A.4327B.62C.68D.624ADCB图1有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第4页/共6页【例11】（交大附中）已知球O的面上四点A、B、C、D，DAABC平面，ABBC，DA=AB=BC=3，则球O的体积等于.2、构造长方体【例12】（2012年上海高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，BBCDA平面，BCDC，若6,AC=213,AD=8AB，则球的体积是.本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。DACBO图4ACBDO图5有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第5页/共6页三.多面体几何性质法【例13】（大同中学）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16B.20C.24D.32【小结】本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法【例14】（西南位育中学）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点SABCD、、、、都在同一球面上，则此球的体积为.【小结】根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.CDABSO1图3有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第6页/共6页五.确定球心位置法【例15】（上海第二中学）在矩形ABCD中，4,3ABBC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A.12512B.1259C.1256D.1253【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例16】（复旦附中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，,求球的体积。【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。四面体是正四面体,外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为时，它的外接球半径为。CAODB图4