概率论试题(一)(附答案)5

1概率论试题（一）（附答案）一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件BA,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(BPAP，则BA,至少有一个不发生的概率为__________.2．设随机变量X服从泊松分布，且)2(4)1(XPXP，则)3(XP______.3．设随机变量X在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2XY在区间)4,0(内的概率密度为)(yfY_________.4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为的指数分布，2)1(eXP，则_________，}1),{min(YXP=_________.解答：解：1．3.0)(BABAP即)(25.0)()()()()()(3.0ABPABPBPABPAPBAPBAP所以1.0)(ABP9.0)(1)()(ABPABPBAP.2．eXPeeXPXPXP2)2(,)1()0()1(2由)2(4)1(XPXP知eee22即0122解得1，故161)3(eXP.3．设Y的分布函数为(),YFyX的分布函数为()XFx，密度为()Xfx则2()()()()()()YXXFyPYyPXyPyXyFyFy因为~(0,2)XU，所以()0XFy，即()()YXFyFy故1,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它另解在(0,2)上函数2yx严格单调，反函数为()hyy所以1,04,14()()20,.YXyyfyfyy其它4．2(1)1(1)PXPXee，故2{min(,)1}1{min(,)1}PXYPXY1(1)(1)PXPY41e..2二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,ABC为三个事件，且,AB相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若()1PC，则AC与BC也独立.（B）若()1PC，则AC与B也独立.（C）若()0PC，则AC与B也独立.（D）若CB，则A与C也独立.（）2．设随机变量~(0,1),XNX的分布函数为()x，则(||2)PX的值为（A）2[1(2)].（B）2(2)1.（C）2(2).（D）12(2).（）3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（A）X与Y独立.（B）()DXYDXDY.（C）()DXYDXDY.（D）()DXYDXDY.（）4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183XYP若,XY独立，则,的值为（A）21,99.（A）12,99.（C）11,66（D）51,1818.（）解答：解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图可见A与C不独立.2．~(0,1)XN所以(||2)1(||2)1(22)PXPXPX1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]应选（A）.3．由不相关的等价条件知应选（B）.4．若,XY独立则有(2,2)(2)(2)PXYPXPY1121()()()3939SABC1231111169183112331112918YX329，19故应选（A）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A‘任取一产品，经检验认为是合格品’B‘任取一产品确是合格品’则（1）()()(|)()(|)PAPBPABPBPAB0.90.950.10.020.857.（2）()0.90.95(|)0.9977()0.857PABPBAPA.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为3323()()()0,1,2,3.55kkkPXkCk即01232754368125125125125XPX的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.xxFxxxx263,55EX231835525DX.五、（10分）设二维随机变量(,)XY在区域{(,)|0,0,1}Dxyxyxy上服从均匀分布.求（1）(,)XY关于X的边缘概率密度；（2）ZXY的分布函数与概率密4度.解：（1）(,)XY的概率密度为2,(,)(,)0,.xyDfxy其它22,01()(,)0,Xxxfxfxydy其它（2）利用公式()(,)Zfzfxzxdx其中2,01,01(,)0,xzxxfxzx其它2,01,1.0,xxz其它.当0z或1z时()0Zfz01z时00()222zzZfzdxxz故Z的概率密度为2,01,()0,Zzzfz其它.Z的分布函数为200,00,0,()()2,01,01,1,1.1,1zzZZzzfzfydyydyzzzzz或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1,1.ZDzFzPZzPXYzdxdyzz20,0,,01,1,1.zzzz2,01,()()0,ZZzzfzFz其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从2(0,2)N分布.求（1）命中环形区域22{(,)|12}Dxyxy的xzz=x1D01zxyx+y=1x+y=zD15概率；（2）命中点到目标中心距离22ZXY的数学期望.解：（1）{,)}(,)DPXYDfxydxdy22222880111248xyrDedxdyerdrd2221122888211()8rrredeee；（2）22222281()8xyEZEXYxyedxdy2222880001184rrrerdrderdr2228880021222rrrreedredr.xy012