01【数学】高中数学探究性试题汇编(一)

知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第1页共10页高中数学探究性试题汇编（一）课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌握科学方法，为学生终身学习和发展奠定基础。探究性试题有助于数学思维的提高。1．已知集合M是满足下列性质的函数xf的全体：在定义域内存在0x，使得1100fxfxf成立。（Ⅰ）函数xxf1是否属于集合M？说明理由；（Ⅱ）设函数Mxaxf1lg2，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数xy2图象与函数xy的图象有交点，证明：函数Mxxfx22。解：（Ⅰ）若xxf1M，在定义域内存在0x，则01111102000xxxx，∵方程01020xx无解，∴xxf1M。（Ⅱ）012222lg1lg11lg1lg2222aaxxaaxaxaMxaxf，2a时，21x；2a时，由0，得53,22,530462aaa。∴53,53a。（Ⅲ）∵122)1(2232121101020201000000xxxxfxfxfxxxx，又∵函数xy2图象与函数xy的图象有交点，设交点的横坐标为a，知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第2页共10页则01202010xaxa，其中10ax。∴1100fxfxf，即Mxxfx22。2．已知)(xf是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x、Ry都满足：)()()(yxfyfxf（1）求)0(f的值，并证明对任意的Rx，都有0)(xf；（2）设当0x时，都有)0()(fxf，证明)(xf在,上是减函数；（3）在（2）的条件下，求集合)lim(,),(,),(),(21nnnSfSfSfSf中的最大元素和最小元素。解：（1）1)0(,0)0(),0()0()0(fffff0)]2([)2()2()(,0)2(2xfxfxfxfxf（2）∵当0x时，都有)0()(fxf1…………6分∴当21xx，即021xx时，有)0()(21fxxf1，即)()(1)(,1)()(22121xfxfxfxfxf1)0()()(22fxfxf∴)(xf在,上是减函数。（3）∵)(xf在,上是减函数，{nS}是递增数列∴数列)(nSf是递减数列。∴集合)lim(,),(,),(),(21nnnSfSfSfSf中的最大元素为22)1()21()(1ffSf，最小元素为21)1()lim(fSfnn。3．已知等差数列na中，公差0d，其前n项和为nS，且满足14,454132aaaa，（1）求数列na的通项公式；（2）通过cnSbnn构造一个新的数列nb，是否存在一个非零常数c，使nb也为等差数列；知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第3页共10页（3）求*)()2005()(1Nnbnbnfnn的最大值。解：（1）∵等差数列na中，公差0d，∴34495144514453232324132nadaaaaaaaaaan。（2）2122341nnnnSn，cnSbnncnnn212，令21c，即得nbn2，数列nb为等差数列，∴存在一个非零常数21c，使nb也为等差数列。（3）200620052120062005112005)2005()(1nnnnnbnbnfnn，∵0802079212005289442005200545，即442005200545，∴45n时，nf有最大值18860946205045。4．已知数列na中，,11a且点NnaaPnn1,在直线01yx上.（1）求数列na的通项公式；（2）若函数,2,321)(321nNnannananannfn且求函数)(nf的最小值；（3）设nnnSab,1表示数列nb的前项和。试问：是否存在关于n的整式ng，使得ngSSSSSnn11321对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出ng的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。,11111()101,1111(1)1(2),1.3nnnnnnnPaaxyaaaaannnaan解:（）点在直线上，即且数列是以为首项，为公差的等差数列。也满足分知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第4页共10页1112(),122111111(1)23422122111111(1)()0,621221222217()()(2)812fnnnnfnnnnnnnfnfnnnnnnnfnfnf（），分是单调递增的，故的最小值是。分11112221111211211111131,(2),1023(1)1,(1)(2)1,11(1)(2)().13nnnnnnnnnnnnnnnbSSSnnnnnSnSSnSnSSSSSnSSSSSnSSSnSnSnngnn（）分即，，,分故存在()214ngnnn关于的整式，使等式对于一切不小于的自然数恒成立分5．设函数1xxg，函数axxxh,3,31，其中a为常数且0a，令函数xf为函数xg和xh的积函数。（1）求函数xf的表达式，并求其定义域；（2）当41a时，求函数xf的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数xf的值域恰为21,31？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由。解：（1）31xxxf，0,0aax。（2）∵41a，∴函数xf的定义域为41,0，令tx1，则21tx，23,1t，∴241422ttttttFxf，∵tt4时，23,12t，又23,1t时，tt4递减，∴tF单调递增，知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第5页共10页∴136,31tF，即函数xf的值域为136,31。（3）假设存在这样的自然数a满足条件，令tx1，则241422ttttttFxf，∵0,0aax，则1.1at，要满足值域为21,31，则要满足21maxtF，由于当且仅当tt42t时，有44tt中的等号成立，且此时21tF恰为最大值，∴11,12aa，又tF在2,1上是增函数，在1,2a上是减函数，∴31311aaaF90a，综上，得91a。6、已知二次函数Rxaaxxxf2同时满足：①不等式0xf的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210xx，使得不等式21xfxf成立。设数列na的前n项和nfSn，（1）求数列na的通项公式；（2）试构造一个数列nb，（写出nb的一个通项公式）满足：对任意的正整数n都有nnab，且2limnnnba，并说明理由；（3）设各项均不为零的数列nc中，所有满足01iicc的正整数i的个数称为这个数列nc的变号数。令nnaac1（n为正整数），求数列nc的变号数。解：（1）∵0xf的解集有且只有一个元素，∴40042aaaa或，知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第6页共10页当0a时，函数2xxf在,0上递增，故不存在210xx，使得不等式21xfxf成立。当4a时，函数442xxxf在2,0上递减，故存在210xx，使得不等式21xfxf成立。综上，得4a，442xxxf，∴442nnSn，∴（2）要使2limnnnba，可构造数列knbn，∵对任意的正整数n都有nnab，∴当2n时，52nkn恒成立，即kn5恒成立，即325kk，又0nb，∴*Nk，∴23nbn，等等。（3）解法一：由题设2,52411,3nnncn，∵3n时，0325283245241nnnnccnn，∴3n时，数列nc递增，∵0314a，由505241nn，可知054aa，即3n时，有且只有1个变号数；又∵3,5,3321ccc，即0,03221cccc，∴此处变号数有2个。综上得数列nc共有3个变号数，即变号数为3。解法二：由题设2,52411,3nnncn，2n时，令422927252303272529201nnnnnnnnccnn或或；又∵5,321cc，∴1n时也有021cc。综上得数列nc共有3个变号数，即变号数为3。知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第7页共10页7．已知复数iaaaaaz41526222，（1）当2,2a时，求iaaaz415222的取值范围；（2）是否存在实数a，使得02z，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。解：（1）∵2,2a，∴425,04252166415222222aaaaaiaaaz。（2）（理）∵02z，∴z为纯虚数，∴aaaaaaaaaaaa02253415202362228．已知axxxaxf,2,2,2132为正常数。（1）可以证明：定理“若a、Rb，则abba2（当且仅当ba时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；（2）若0xf在2,0上恒成立，且函数xf的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测xfy的单调性（无需证明）；（3）对满足（2）的条件的一个