高中数学创新题集锦

南方学科网(1)函数部分新创题5道1.已知映射f:A→B,其中A=B=R，对应法则f:x→y=x2-2x+2.若对实数k∈B,在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（）A.k≤1B.k1C.k≥1D.k12.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则x21+x22等于（）A.98B.910C.916D.9283.函数f(x)=logax(a0,a≠1),若f(x1)-f(x2)=1,则f(x21)-f(x22)等于（）A.2B.1C.21D.loga24.汽车在行驶中，汽油平均消耗率g(即每小时的汽油消耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h)之间有函数关系：g=25001(v-50)2+5(0v150).“汽油的使用率最高”为每千米汽油平均消耗量最小（单位：L/km),则汽油的使用率最高时，汽车速度是（km/h).5.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费200元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？参考答案：1.B实数k的取值范围是函数y=x2-2x+2的值域［1,+∞)的补集，所以k1.2.C由图象可得f(x)=x(x+1)(x-2)=x3-x2-2x,又∵x1、x2是f′(x)=3x2-2x-2=0的两根，∴x1+x2=32,x1x2=-32,故x2221x=(x1+x2)2-2x1x2=（32）2+2×32=916.3.Ax10,x20,f(x21)-f(x22)=logax21-logax22=2(logax1-logax2)=2［f(x1)-f(x2)］=2.4.506汽油使用率为vvvvgvtgt5)50(250012=25125006225162500vv,南方学科网vvv(km/h).5.解：（1）当每辆车的月租定金为3600元时，未租出的车辆数为125030003600，所以这时租出了88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f（x）=（100-)200)(503000xx,整理得f（x）=501(8000-x)(x-200)=-501x2+164x-32000=-501(x-4100)2+304200.所以，当x=4100时，f(x)最大，最大值为f(4100)=304200，答：当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元.(2)数列部分新创题4道1．若等比数列{an}对一切正整数n都有Sn=2an-1,其中Sn是{an}的前n项和，则公比q的值为（）A.21B.-21C.2D.-22.等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{nSn}的前11项和为（）A.-45B.-50C.-55D.-663.等差数列{an}中有两项am和ak满足am=k1,ak=m1,则该数列前mk项之和是.4.设f(x)=cxbxax12(a0)为奇函数,且|f(x)|min=22,数列{an}与{bn}满足如下关系:a1=2,an+1=11,2)(nnnnnaabaaf.(1)求f(x)的解析表达式；（2）证明：当n∈N+时，有bn≤(31)n.参考答案：1．C当n=1时，S1=2a1-1,得a1=1;当n=2时，1+a2=2a2-1,得公比q=a2=a1q=2.2.DSn=2)(1naan,∴21nnaanS=-n,∴前11项的和为-66.南方学科网mk设数列{an}的首项为a1,公差为d，则有mdkaakdmaakm1)1(1)1(11解得mkdmka111,所以Smk=2mk(a1+am)=211)1(112mkmkmkmkmkmk.4.解：(1)由f(x)是奇函数，得b=c=0,由|f(x)|min=22,得a=2,故f(x)=xx122.(2)an+1=2222221112121211212)(nnnnnnnnnnnnnbaaaaaaaaaaaaf∴bn=b1214221nnnbb,而b1=31,∴bn=(31)2n-1.当n=1时，b1=31,命题成立;当n≥2时,∵2n-1=(1+1)n-1=1+C11n+C21n+…+C11nn≥1+C11n=n,∴(31)2n-1≤(31)n,即bn≤(31)n.(3)三角部分新创题4道1.若223,则直线sincosyx=1必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．若函数f(x+2)=0),lg(0,tanxxxx，则f(4+2)f(-98)等于（）A.21B.-21C.2D.-2南方学科网．若2231tan1tan,则sin2α=.4．函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)=1－sinx+1＋sinx的性质，并在此基础上，作出其在[,]的草图．参考答案：1．B判断cosα0,sinα0，数形结合.2．Cf(4+2)·f(-98)=tan4lg100=2.3．-322tanα=-2,sin2α=22cossincossin2=322tan1tan22.4解：①∵1sin01sin0xx，，∴fx的定义域为R；②∵1sin1sin1sin1sinfxxxxxfx，∴()fx为偶函数；③∵()()fxfx,∴()fx是周期为的周期函数；④当[0,]2x时，()fx=2(1sin1sin)22|cos|2cos2xxxx，∴当[0,]2x时()fx单调递减；当[]2x，时，()fx=2(1sin1sin)22|cos|22cos2sin2xxxxx，()fx单调递增；又∵()fx是周期为的偶函数，∴()fx在[,]2kk上单调递增，在[,]2kk上单调递减（kZ）；⑤∵当[0,]2x时2cos222xfx，；当[]2x，时2sin222xfx，．∴()fx的值域为]2,2[；⑥由以上性质可得：()fx在，上的图象如图所示：南方学科网（4）向量部分新创题4道1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP=31(21OA+OB21+2OC),则点P一定为三角形ABC的（）A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点2.已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),其夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+21=0与圆（x-cosβ)2+(y+sinβ)2=21的位置关系是.3.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：(1)若两点等分单位圆时，有相应关系为：0)cos(cos,0)sin(sin（2）四点等分单位圆时，有相应关系为：0)23cos()sin()2cos(cos,0)23sin()sin()2sin(sin由此可以推知三等分单位圆时的相应关系为：.4．已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(2-sinθ,cosθ),θ∈［π,2π］.(1)求|m+n|的最大值；（2）当|m+n|=528时,求cos(82)的值.参考答案：1.B取AB边的中点M，则OMOBOA2，由OP=31(21OA+OB21+2OC)可得3MCOMOP23，∴MCMP32，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.2.相离cos60°=32sinsin6coscos6=cos(α-β)=21.南方学科网=221)sin(cos21sinsincoscos|22r3．0)34cos()32cos(cos;0)34sin()32sin(sin4．解：（1）m+n=(cosθ-sinθ+2,cosθ+sinθ),|m+n|=22)sin(cos)2sin(cos=)sin(cos224=)4cos(44=2)4cos(1∵θ∈［π,2π］,∴49445,∴cos(θ+4)≤1,|m+n|max=22.(2)由已知|m+n|=528,得cos(θ+4)=257.又cos(θ+4)=2cos2(82)-1,∴cos2(82)=2516,∵θ∈［π,2π］,∴898285,∴cos(54)82.（5）不等式部分新创题4道1．若函数f(x)=min{3+log41x,log2x},其中min{p,q}表示p,q两者中的较小者，则f(x)2的解集为（）A.（0，4）B.（0，+∞)C.(0,4)∪(4,+∞)D(41,+∞)1．Cf(x)=min{3+log41x,log2x}=4log21340log22xxxx分别解f(x)2可得0x4或x4,故应选C.2.点集{(x,y)|||x|-1|+|y|=2}的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是南方学科网（）A.14B.16C.18D.202.A||x|-1|+|y|=2可化为|y|=2-||x|-1|,即y=0|,1|||20,2|1|||yxyx根据曲线|y|=2-||x|-1|的对称性可以作出图象的变换，即由y=|x|的曲线向下平移一个单位，得y=|x|-1,再将y轴下方的图象对折到x轴的上方，可得y=||x|-1|,关于x轴对称可得y=-||x|-1|,再向上平移两个单位可得y=2-||x|-1|,最后可得|y|=2-||x|-1|的图象如图所示，其面积为（32）2-2（2）2=14，故应选A.3.如果不等式f(x)=ax2-x-c0的解集为{x|-2x1},那么函数y=f(-x)的大致图象是（）3．C由已知2112112caaca，y=f(-x)=ax2+x-c,即y=-x2+x+2,其图象为C.4.实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）12ab的值域；（2）（a-1）2+(b-2)2的值域；（3）a+b-3的值域.4.解答：由题意知：f（0）0,f（1）0,f（2）0b0,a+2b+10,a+b+20.如图所示，A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0）.又由所求量的几何意义知，值域分别为（1）（41，1）；（2）（8，17）；（3）（-5，-4）.（6）直线与圆部分新创题4道南方学科网在坐标平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连结原点