2015高三一轮复习第2讲平面向量基本定理及坐标表示

结束放映返回概要获取详细资料请浏览：【2014年高考会这样考】1．考查应用向量的坐标运算求向量的模．2．考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运算．3．考查应用向量的垂直与共线条件，求解参数．第2讲平面向量的基本定理及向量坐标运算结束放映返回概要获取详细资料请浏览：级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】平面向量共线的坐标运算平面向量基本定理及其应用平面向量的坐标运算选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、常考常新的平行向量的运算问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲结束放映返回概要获取详细资料请浏览：．平面向量基本定理前提：e1，e2是同一个平面内的两个____________条件：对于这一平面内的任一向量a，____________实数λ1，λ2满足a＝λ1e1＋λ2e2.结论：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示(1)向量的夹角①定义：已知两个非零向量a和b，如右图，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做a与b的夹角②当θ＝0°时，a与b____________当θ＝180°时，a与b____________当θ＝90°时，a与b____________不共线的向量有且只有一对共线同向共线反向互相垂直结束放映返回概要获取详细资料请浏览：考点梳理(2)平面向量的正交分解向量正交分解是把一个向量分解为两个的向量．(3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，这样，a可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．(4)规定①相等的向量坐标，坐标的向量是相等的向量；②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．互相垂直（x，y）相等相等结束放映返回概要获取详细资料请浏览：．平面向量运算的坐标表示(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝____________.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔.(x1＋x2，y1＋y2)(x1-x2，y1-y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)x1y2－x2y1＝0.x21＋y21结束放映返回概要获取详细资料请浏览：(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.两个提醒助学微博三个结论(1)若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.(2)已知OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.(3)平面的基底中一定不含零向量．结束放映返回概要获取详细资料请浏览：．(2012·广东)若向量AB→＝(1,2)，BC→＝(3,4)，则AC→＝()．A．(4,6)B．(－4，－6)C．(－2，－2)D．(2,2)2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()．A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b3．(2013·湘潭调研)已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若a∥b，则x的值为()．A．0B．4C．－4D．±44．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC→＝2AD→，则顶点D的坐标为()．A.2，72B.2，－12C．(3,2)D．(1,3)5．（课本改编题）已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.考点自测单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解ABCA123451结束放映返回概要获取详细资料请浏览：【例1】►如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用c，d表示AB→，AD→.【审题视点】解直接用c，d表示AB→，AD→有难度，可换一个角度，由AB→，AD→表示AN→，AM→，进而求AB→，AD→.【方法锦囊】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．方法一：设AB→＝a，AD→＝b，b＝AM→＋MD→＝c＋－12a.②则a＝AN→＋NB→＝d＋－12b，①将②代入①得a＝d＋－12c＋－12a∴a＝43d－23c＝23(2d－c)，③将③代入②，得b＝c＋－12×23(2d－c)＝23(2c－d)．∴AB→＝23(2d－c)，AD→＝23(2c－d)．法一完方法一方法二考向一平面向量基本定理及其应用结束放映返回概要获取详细资料请浏览：【例1】►如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用c，d表示AB→，AD→.【审题视点】解考向一平面向量基本定理及其应用直接用c，d表示AB→，AD→有难度，可换一个角度，由AB→，AD→表示AN→，AM→，进而求AB→，AD→.【方法锦囊】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．方法二：设AB→＝a，AD→＝b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以BN→＝12b，DM→＝12a，法二完方法一方法二因而c＝b＋12ad＝a＋12b⇒a＝232d－cb＝232c－d即AB→＝23(2d－c)，AD→＝23(2c－d)．结束放映返回概要获取详细资料请浏览：【训练1】如图，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解如图，以OA→，OB→为一组基底，将OC→在OA→，OB→方向上分解，得Rt△OCA′，其中OC＝23，∠OCA′为直角，∠COA＝30°，则OA′＝4OA，OB′＝2OB，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.A/B/1200300【方法锦囊】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．考向一平面向量基本定理及其应用结束放映返回概要获取详细资料请浏览：【审题视点】考向二平面向量的坐标运算【例2】►已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM→＝3CA→，CN→＝2CB→.求M，N的坐标和MN→.解析∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，求CA→，CB→的坐标，根据已知条件列方程组求M，N.【方法锦囊】解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)的思想∴CA→＝(1,8)，CB→＝(6,3)．∴CM→＝3CA→＝3(1,8)＝(3,24)，CN→＝2CB→＝2(6,3)＝(12,6)．设M(x，y)，则CM→＝(x＋3，y＋4)．∴x＋3＝3，y＋4＝24，得x＝0，y＝20.∴M(0,20)．同理可得N(9,2)，∴MN→＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．结束放映返回概要获取详细资料请浏览：【训练2】(1)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝()．A．(－2，－1)B．(－2,1)C．(－1,0)D．(－1,2)(2)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BD→＝()．A．(－2，－4)B．(－3，－5)C．(3,5)D．(2,4)解析(1)12a＝12，12，32b＝32，－32，故12a－32b＝(－1,2)．考向二平面向量的坐标运算(2)由题意得BD→＝AD→－AB→＝BC→－AB→＝(AC→－AB→)－AB→＝AC→－2AB→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．答案(1)D(2)B结束放映返回概要获取详细资料请浏览：【例3】►平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.考向三平面向量共线的坐标运算由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，(1)解【审题视点】(1)向量相等对应坐标相等，列方程解之；(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．(2)由两向量平行的条件列方程解之．所以－m＋4n＝3，2m＋n＝2，得m＝59，n＝89.(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－1613.【方法锦囊】结束放映返回概要获取详细资料请浏览：【训练3】(1)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．(2)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－1，－2)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.考向三平面向量共线的坐标运算(1)由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．(1)解设D(x，y)，则有AB→＝DC→，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)，即D点的坐标为(0，－2)．(2)由题意知a＋b＝(m－1，－3)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c，得(－3)×(－1)－(m－1)×2＝0，所以m＝52.（x，y）结束放映返回概要获取详细资料请浏览：——常考常新的平行向量的运算问题揭秘3年高考通过近三年高考试题分析，以坐标法考查向量共线的应用