第一章高等代数多项式

高等代数高等代数HigherAlgebra湖南大学数学与计量经济学院多项式推荐教材：《高等代数简明教程》(上、下册)蓝以中著《高等代数》(上、下册)丘维声著《高等代数学》(第2版)姚慕生、吴泉水著推荐习题集：《高等代数精选题解》杨子胥著《高等代数中的典型问题与方法》李志慧、李永明著《高等代数题解精粹》钱吉林著多项式第一章多项式绪论与准备知识一、复数◆复数的概念◆复数的实部与虚部；模与幅角◆复数的三角表示，欧拉公式◆代数基本定理◆的根1nz准备知识二、数域的概念●在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域内就可以分解。2x2●在实数范围内没有根，但在复数域内就有一对共轭复根。2x101、数的认识过程自然数整数有理数实数复数2、数的范围对问题的影响NZQRC多项式§1数环和数域§1数环和数域数是数学中的一个基本概念，人们对数的认识经历了一个长期的发展过程，由自然数到整数、有理数，然后是实数到复数。数学中的许多问题都和数的范围有关，数的范围不同，对同一问题的回答可能也不相同。例如2x2在实数范围内没有根，但在复数域内就有一对共轭复根。2x10在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域内就可以分解。多项式§1数环和数域我们通常考虑的数的范围主要包括全体实数、全体有理数以及全体复数等，它们具有一些不同的性质，但也有很多共同的性质，在代数中经常将具有共同性质的对象统一进行讨论。一个数集中，数的加、减、乘、除运算称为数的代数运算。若数集P中任何两个数做某一运算后的结果仍然在这个数集P中，则称该数集P对这个运算是封闭的。a)自然数集N对加、乘运算封闭，对减、除不封闭。b)整数集Z对加、减、乘运算封闭，对除不封闭。c)有理数集Q、实数集R、复数集C对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭。多项式§1数环和数域根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集：数环和数域。一、数环定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、减、乘三种运算都封闭，即对a，b∈P，总有a+b，a-b，a•b∈P，则称数集P是一个数环。例如：整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。例1除了以上数环外，是否还有其他数环？有没有最小数环？例2一个数环是否一定包含0元？除零环外，是否还有只包含有限个元素的数环？多项式§1数环和数域例3证明P{2ab2|a,bZ}是包含2的最小数环。二、数域定义2：若P是由一些复数组成的集合，其中包含0和1，如果数集P对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭，则称数集P是一个数域。定义3：若P是一个数环，如果①数集P内含有一个非零数②对a，b∈P，且b≠0，有a/b∈P，则称数集P是一个数域。例如：有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域。多项式§1数环和数域例4证明Q(2){ab2|a,bQ}是一个数域。例5设1P{ab2|a,bQ}2P{ab3|a,bQ}P{ab2c3d6|a,b,c,dQ}证明P2，P是一个数域，而且P是包含P1和P2的最小数域。例6证明任何数域都包含有理数域Q。例7在Q与R之间是否还有别的数域?R与C之间呢？例8设F1和F2是两个数域，证明：1）F1∩F2是一个数域；2）F1∪F2是数域的充分必要条件是F1⊆F2或F2⊆F1。多项式§2一元多项式的定义和运算§2一元多项式的定义和运算一、一元多项式的定义定义1：设x是一个文字(或符号)，n是一个非负整数，表达式其中a0，a1，…，an全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或简称为数域P上的一元多项式。定义1在以下两方面推广了中学的多项式定义：1)这里的x不再局限为实数，而是任意的文字或符号。2)多项式中的系数可以在任意数域中。常数项，或称零次项称为首项，其中首项系数an≠0niiinnnnxaaxaxaxa00111多项式§2一元多项式的定义和运算例如：32f(x)9x3x2x1是Q上的一元多项式。2f(x)x2x3是R上的一元多项式。2f(x)5xix3是C上的一元多项式。而3231x3x2x,2x,xx1都不是多项式。定义2：如果在多项式f(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数相等，那么就称多项式f(x)或g(x)相等，记为f(x)=g(x)多项式§2一元多项式的定义和运算定义3：设非负整数n称为多项式f(x)的次数，记为例如：2f(x)3x2x1f(x)3(f(x))2(f(x))0几类特殊的多项式：零次多项式：次数为0的多项式，即非零常数。零多项式：系数全为0的多项式，即f(x)=0。对零多项式不定义次数，因此，在使用次数符号时，总假定f(x)≠0。首一多项式：首项系数为1的多项式。,0,)(0111nnnnnaaxaxaxaxfnxf))((多项式§2一元多项式的定义和运算二、多项式的运算定义4：设是数域P上次数分别为n和m的多项式(不妨假设m≤n)，则多项式f(x)和g(x)的和，差为：当mn时，设bm+1=…=bn=0。多项式f(x)和g(x)的乘积为：,)(,)(01110111bxbxbxbxgaxaxaxaxfmmmmnnnn,)()()()()(0011baxbaxbaxgxfnnnmnsssjijixbaxgxf0)()()(多项式§2一元多项式的定义和运算多项式的运算(加、减、乘)满足以下运算规律：加法交换律：f(x)+g(x)=g(x)+f(x)加法结合律：[f(x)+g(x)]+h(x)=f(x)+[g(x)+h(x)]乘法交换律：f(x)•g(x)=g(x)•f(x)乘法结合律：[f(x)•g(x)]•h(x)=f(x)•[g(x)•h(x)]乘法对加法的分配律：f(x)•[g(x)+h(x)]=f(x)•g(x)+f(x)•h(x)乘法对减法的分配律：f(x)•[g(x)-h(x)]=f(x)•g(x)-f(x)•h(x)多项式§2一元多项式的定义和运算三、多项式的次数定理定理1：设f(x)≠0，g(x)≠0，则①当f(x)±g(x)≠0时，有②))(()),((max))()((xgxfxgxf))(())(())()((xgxfxgxf多项式§2一元多项式的定义和运算推论1：f(x)•g(x)=0当且仅当f(x)=0或g(x)=0。由推论2可知，一元多项式满足乘法的消去律。推论2：若f(x)•g(x)=f(x)•h(x)，且f(x)≠0，则g(x)=h(x)。定义5：记P[x]={数域P上所有一元多项式全体}，由于P[x]对多项式的加、减、乘法封闭，故称P[x]为数域P上的一元多项式环。若记Pn[x]={数域P上所有次数小于n的一元多项式全体+零多项式}，那么Pn[x]是数域P上的一元多项式环吗？带余除法：对于P[x]中的任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)≠0，则一定存在P[x]中的多项式q(x)，r(x)使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，其中或者r(x)=0，并且这样的q(x)和r(x)是唯一确定的。))(())((xgxr多项式§3整除的概念和性质§3整除的概念和性质一、带余除法例1用带余除法，求g(x)除f(x)所得的商式和余式，其中商式余式ixxgxxxxf21)(,)(23多项式§3整除的概念和性质二、多项式的整除性定义1：设f(x)，g(x)∈P[x]，若存在h(x)∈P[x]使得f(x)=g(x)h(x)则称g(x)整除f(x)，记为g(x)|f(x)。否则称g(x)不能整除f(x)，记为g(x)|f(x)。定义2：设f(x)，g(x)∈P[x]，当g(x)|f(x)时，g(x)称作f(x)的因式，f(x)称作g(x)的倍式。多项式§3整除的概念和性质当g(x)≠0时，带余除法给出了整除性的一个判别法。定理1：对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，其中g(x)≠0，则g(x)|f(x)的充要条件是g(x)除f(x)的余式r(x)=0。例3设f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，其中h(x)≠0。证明：h(x)|(f(x)-g(x))当且仅当f(x)与g(x)除以h(x)所得的余式相等。例2试求多项式整除的条件。222aaxxqpxx233多项式§3整除的概念和性质三、整除的性质性质1(a)对任意的f(x)∈P[x]，有f(x)|f(x)；(b)对任意的f(x)∈P[x]，有f(x)|0；(c)对任意的f(x)∈P[x]，a≠0，有a|f(x)；性质2对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，若f(x)|g(x)，且g(x)|f(x)那么f(x)=cg(x)和g(x)=df(x)，其中c，d为非零常数。性质3对任意的f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，若f(x)|g(x)，且g(x)|h(x)，那么f(x)|h(x)。(整除的传递性)多项式§3整除的概念和性质性质4对任意的f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，若h(x)|f(x)，且h(x)|g(x)，那么h(x)|(f(x)±g(x))。性质5对任意的f(x)，gi(x)∈P[x]，i=1,2,…,r，若f(x)|gi(x)那么对任意的ui(x)∈P[x]，i=1,2,…,r，有f(x)|(u1(x)g1(x)+u2(x)g2(x)+…+ur(x)gr(x))性质7对任意的f(x)∈P[x]，c∈P且c≠0，有f(x)|cf(x)。称作多项式g1(x),g2(x),…,gr(x)的一个组合性质6对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，若f(x)|g(x)，则对任意的h(x)∈P[x]，有f(x)|h(x)g(x)。多项式§3整除的概念和性质例4设g1(x)g2(x)|f1(x)f2(x)，1)证明：若f1(x)|g1(x)，f1(x)≠0，则g2(x)|f2(x)；2)若g1(x)|f1(x)，是否有g2(x)|f2(x)?多项式的根与因式分解会因数域的扩大而改变。问题：数域P上的多项式f(x)与g(x)的整除性是否会因为数域的扩大而改变？多项式§4最大公因式§4最大公因式一、两个多项式的最大公因式定义1：对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，若存在h(x)∈P[x]，使得h(x)|f(x)，h(x)|g(x)，则称h(x)是f(x)和g(x)的一个公因式。定义2：对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，d(x)是多项式f(x)和g(x)的一个公因式。若对f(x)和g(x)的任意一个公因式h(x)，都有h(x)|d(x)，则称d(x)是多项式f(x)和g(x)的最大公因式。多项式§4最大公因式所要考虑的问题：(1)任何两个多项式是否都有最大公因式？(存在性问题)(2)若存在最大公因式，如何求？(求法问题)(3)最大公因式是否唯一？(唯一性问题)引理1：对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，若其带余除法为f(x)=q(x)g(x)+r(x)则两对多项式f(x)，g(x)和g(x)，r(x)有相同的公因式和最大公因式。由引理1知，求f(x)和g(x)的最大公因式可以转化为求g(x)和r(x)的最大公因式。多项式§4最大公因式定理1：对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，存在最大公因式d(x)，而且d(x)可以表示为f(x)和g(x)的一个组合，即存在多项式u(x)，v(x)∈P[x]，使得d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。定理1表明对任意的两个多项式都存在最大公因式d(x)，而且d(x)是这两个多项式的一个组合。由定理1的证明过程可以构造出求最大公因式的方法：辗转相除法。若对不全为零的多项式，用符号(f(x)，g(x))表示首项系数为1的最大公因式，那么(f(x)，g(x))是唯一确定的。多项式§4最大公因式例1设求(f(x)，g(x))，并求u(x)，v(x)使得(f(x)，g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x)。例