圆锥曲线速算公式和结论系统梳理

【考纲解读】15.圆锥曲线与方程（理）（1）圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。④了解圆锥曲线的简单应用。⑤理解数形结合的思想。（2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。15.圆锥曲线与方程（文）①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。④理解数形结合的思想。⑤了解圆锥曲线的简单应用。一、椭圆1、方程、离心率的公式、结论①切线方程、切点弦所在直线方程：过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点Px0，y0()的切线方程为：x0xa2+y0yb2=1从椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）外一点Px0，y0()往椭圆作两条切线分别交椭圆于A、B两点，则AB所在直线的方程为：x0xa2+y0yb2=1②离心率取值范围：【例题】答案：[1/3，1）【变式题】③过焦点直线倾斜角与离心率关系：（三大圆锥曲线均满足）椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别是F1、F2，若椭圆上存在点P使得PF1=2PF2，则离心率e的取值范围为________。若椭圆上存在点P使得PF1=λPF2λ＞0且λ≠1()，则有离心率e[λ-1λ+1，1）。过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）焦点Fc，0()且倾斜角为θ的直线与椭圆交于A、B两点，若AF=λFBλ＞0()，则有：cosθ=λ-1eλ+1()，若直线斜率k存在，则有k2=e2·λ+1λ-1()2-12、焦点相关公式、结论④焦半径倒数和：（三大圆锥曲线均满足，双曲线AB需在同一支）⑤焦点弦垂直平分线结论：（三大圆锥曲线均满足）⑥焦点三角形结论：过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）焦点Fc，0()且不平行于坐标轴的弦为AB，AB的垂直平分线交x轴于点P，那么有结论：PFAB=e2椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点Px0，y0()，F1PF2=θ，那么有结论：（1）cosθ=2b2PF1PF2-1，故θmax=F1BF2（2）PF1PF2b2，a2[]（3）PF1·PF22b2-a2，b2[]（4）SF1PF2=b2·tanθ2过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）焦点Fc，0()且不平行于坐标轴的弦为AB，则两条焦半径倒数和为：1AF+1BF=4L=2ab2椭、双()=2P抛()3、其他公式、结论⑦中心三角形结论⑧顶点三角形结论：⑨中点弦结论：已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线L与椭圆交于A、B两点，在AOB中，AB边上的高为OD，则有（1）AOB＝90°等价于1OD2＝1a2+1b2；（2）AOB＞90°等价于1OD2＞1a2+1b2；（3）AOB＜90°等价于1OD2＜1a2+1b2。已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线L：y=kx+m与椭圆交于A、B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线L过定点aa2-b2()a2+b2，0()已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线L：y=kx+m与椭圆交于A、B两点，且AB中点为M（x0，y0），则有k=－b2a2·x0y0二、双曲线1、方程、离心率的公式、结论⑩切线方程：⑪焦点到渐近线距离：⑫离心率取值范围：2、焦点相关公式、结论⑬焦点三角形结论：双曲线x2a2－y2b2=1的一个焦点到其渐近线的距离为b过双曲线x2a2－y2b2=1上一点Px0，y0()的切线方程为：x0xa2－y0yb2=1若双曲线上存在点P使得PF1=λPF2λ＞1()，则有离心率e（1，λ＋1λ－1]。双曲线x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0）上一点Px0，y0()，F1PF2=θ，那么有结论：（1）cosθ=1－2b2PF1PF2（4）SF1PF2=b2tanθ2⑭顶点三角形结论：⑮中点弦结论：三、抛物线1、方程的公式、结论⑯切线方程、切点弦所在方程：2、焦点相关公式、结论⑰焦点弦公式：过抛物线y2=2px（p＞0）上一点Px0，y0()的切线方程为：y0y=px+x0()过抛物线y2=2px（p＞0）外一点Px0，y0()往抛物线作两条切线分别切抛物线于A、B，则AB所在直线的方程为：y0y=px+x0()已知双曲线x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），直线L：y=kx+m与双曲线交于A、B两点，且以AB为直径的圆过双曲线的右顶点，则直线L过定点aa2＋b2()a2－b2，0()已知双曲线x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），直线L：y=kx+m与双曲线交于A、B两点，且AB中点为M（x0，y0），则有k=b2a2·x0y0过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F且倾斜角为θ的直线与抛物线交于A、B两点，则AB=2psin2θ⑱焦点三角形结论：3、其他公式、结论⑲顶点三角形结论：⑳切点弦直径结论：【切记】推过的才是你自己的东西，加油！过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F且倾斜角为θ的直线与抛物线交于A、B两点，则SAOB=p22sinθ已知抛物线y2=2px（p＞0），直线L：y=kx+m与抛物线交于A、B两点，且以AB为直径的圆过抛物线的顶点，则直线L过定点2p，0()过抛物线y2=2px（p＞0）焦点的直线L与抛物线交于A、B两点，则过A、B两点的切线互相垂直且交点在准线上。