期望-方差公式的证明全集

1期望与方差的相关公式的证明-、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。定义1若离散型随机变量可能取值为ia（i=1，2，3，…），其分布列为ip（i=1，2，3，…），则当iiipa1时，则称存在数学期望，并且数学期望为E=1iiipa，如果iiipa1=，则数学期望不存在。1定义2期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xipi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C是常数，则E(C)=C。（2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。（3）)E(X)E(X)XE(X2121。三、方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的2平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。定义3方差：称Dξ=∑（xi－Eξ）2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差.D叫标准差，反映了ξ的离散程度.定义4设随机变量X的数学期望)(XE存在，若]))([(2XEXE存在，则称]))([(2XEXE为随机变量X的方差，记作)(XD，即]))([()(2XEXEXD。方差的算术平方根)(XD称为随机变量X的标准差，记作)(X，即)()(XDX由于)(X与X具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。若方差)(XD=0，则随机变量X以概率1取常数值。由定义4知，方差是随机变量X的函数2)]([)(XEXXg的数学期望，故连续时当离散时当XdxxfXExpXExXDkkkk,)()]([X,)]([)(212当X离散时,X的概率函数为,2,1,)()(kPxXPxPKKk；当X连续时，X的密度函数为)(xf。求证方差的一个简单公式：公式1：22)]([)()(XEXEXD证明一：22222)]([)(])]([)(2[]))([()(XEXExEXXEXEXEXEXD3证明二：21()niiiDxEp2212211122222[2()]2()2()()()niiiinnniiiiiiiixxEEpxpExpEpEEEEE22()DEE可以用此公式计算常见分布的方差四、方差的性质（1）设C是常数,则D(C)=0。（2）若C是常数,则)()(2XDCCXD。（3）若X与Y独立，则公式2：)()()(YDXDYXD。证由数学期望的性质及求方差的公式得)()()]([)()]([)()()(2)]([)]([)()(2)()()]()([]2[)]([])[()(2222222222222YDXDYEYEXEXEYEXEYEXEYEXEYEXEYExEXYYXEYXEYXEYXD可推广为：若1X,2X，…，nX相互独立，则niiniiXDXD11)(][niiiniiiXDCXCD121)(][（4）D(X)=0P(X=C)=1，这里C=E(X)。五、常见的期望和方差公式的推导过程（一）离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明41．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：（1）pi≥0，i＝1，2，…；（2）p1＋p2＋…＝1。2．离散型随机变量期望和方差的性质：E(a＋b)＝aE＋b，D(a＋b)＝a2D。（1）公式3：E（aξ+b）=aEξ+b，证明：令ab,ab为常数也为随机变量()()iiPaxbPx1,2,3...i所以的分布列为1axb2axb…naxb…p1p2p…np…1122()()...()nnEaxbpaxbpaxbp=112212(......)(......)nnnaxpxpxpbpppE=aEb()EabaEb说明随机变量的线性函数ab的期望等于随机变量期望的线性函数（2）公式4：D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.证法一：因为21()niiiDxEp2212211122222[2()]2()2()()()niiiinnniiiiiiiixxEEpxpExpEpEEEEE522()DEE所以有：222211()[()]()nniiiiiiDabaxbaEbpaxEpaD证毕证法二：Dξ=222221111()2()()nnnniiiiiiiiiiixEpxpExpEpEE.E(aξ＋b)＝aEξ＋b，D(aξ+b)=a2Dξ．222211()[()]()nniiiiiiDabaxbaEbpaxEpaD（二）二项分布公式列举及证明1．二项分布定义：若随机变量的分布列为：P(＝k)＝Cnkpkqn-k。（k＝0，1，2，…，n，0＜p＜1，q＝1－p，则称服从二项分布，记作~B(n，p)，其中n、p为参数，并记Cnkpkqn-k=b(k；n，p)。2．对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。即：（1）P(＝k)＝Cnkpkqn-k＞0，k＝0，1，2，…，n；（2）nk0P(＝k)＝nk0Cnkpkqn-k＝(p＋q)n＝1。二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。3．服从二项分布的随机变量的期望与方差公式：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.（3）公式5：求证：Eξ=np方法一：在独立重复实验中，某结果发生的概率均为p（不发生的概率为q，有1pq），那么在n次实验中该结果发生的次数的概率分布为0123...1nn6P0nnCq11nnCpq222nnCpq333nnCpq...11nnnCpqnnnCp服从二项分布的随机变量的期望Enp.证明如下：预备公式11kknnkcnc100110220211(1)()11011111()(......)nnnnkknnknnnnnnnpqcpqcpqcpqcpqcpq因为()(1),kknkkknknnpkcppcpq所以001112220012......nnnkknknnnnnnnEcpqcpqcpqkcpqncpq=00110220211(1)()11011111(......)nnnkknnknnnnnnnnpcpqcpqcpqcpqcpq=1()nnppqnp所以E=np得证方法二：证明：若),(~pnBX，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数，现在我们来求X的数学期望。若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，…，n则12...nXXXX，因为PXPi)1(，qPXPi1)0(所以ppqXEi10)(，则)(XEnpXEXEniinii11)(][可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np。需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。公式621212(1)kkknnnkCnCnnC211kknnkCknC1111111212[(1)1](1)(1)knkknnkknnnkCnCnkCnCnnC21212(1)kkknnnkCnCnnC7求证：服从二项分布的随机变量的方差公式7：Dξ=npq（q=1－p）.方法一：证明：220niininiEiCpq111212221110122211212111221122(1)(1)()(1)()(1)nnniiniiininnniinnniininiininnniinnnnnnCpqnCpqnnCpqnpqnpCpqnpCqnnpCpqnpqnppqnpqnnppqnpqnpnpqnnpnpnp222222(1)npnppnpnpqnp由公式1知22()DEE222()npqnpnpnpq方法二：设~(,)Bnp,则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，…，n则1nii是n次试验中“成功”的次数，()01iEqpp，故222()()[()](1)iiiDEEpppp，1,2,,in由于12,,...,n相互独立，于是1()()niiDD=np(1-p)。（三）几何分布的期望与方差的公式列举及证明1．定义5：几何分布（Geometricdistribution）是离散型概率分布。定义6：在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的概率。1()(1)kPXkpp8若Pkqpk()1，则（1）Ep1，（2）Dpp12。求证：（1）几何分布的期望公式8：Ep1，若某射击手击中目标的概率为P，求证：从射击开始到击中目标所需次数的期望Ep1证明：依题意分布列为123……K……PP)1(PP2)1(PP1)1(KPP由Pkqpk()1，知2112(1)3(1)...(1)...KEPPPPPKPP212123......(123......)kkEppqqpkqpqqkqp下面用错位相减法求上式括号内的值。记21123...kkSqqkq212...(1)kkkqSqqkqkq两式相减，得21(1)1...kkkqSqqqkqSqqkqqkkk1112()由01p，知01q，则0limkkq及0limkkkq（可用L'Hospital法则证明）故212211123......lim(1)kkkpqkqSqp，所以Ep19求证：（2）()(,)pkgkp几何分布的方差公式9：Dpp122qp证明：利用导数公式()'xnxnn1，推导如下：21123......kxxkx'2'3''23'()()...()...(......)kkxxxx