浅谈利用微分中值定理解题的方法和技巧

李国成(311604)[]文章介绍了常用的微分中值定理:罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理,论述了利用这三种定理证明某些典型题型的技巧性,归纳了利用微分中值定理的基本步骤和技巧[]微分中值定理;常见题型;解题方法[]G71[]A[]1008-9144(2004)07-0069-02,,,,,,,,,()定理条件结论罗尔定理f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,f(a)=f(b)至少存在一点(a,b)使f()=0拉格朗日中值定理f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导至少存在一点(a,b),使f(b)-f(a)=(b-a)f()成立柯西中值定理f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,g(x)!0至少存在一点(a,b),使f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f()g()成立,,,:(1),f(x)(g(x))[a,b];(2)f(x)(g(x))[a,b];(3)(1),;(2);(3)1F(x)x==01f(x)[a,b](0ab),(a,b),f(x)0(axb),af(b)-bf(a)=0(a,b),f()f()=:f()-f()=0,f()-f()2=0,[xf(x)-f(x)x2]x==0,[f(x)x]x==0;F(x)=f(x)x,F(x)[a,b]∀F()=0#,:∃∃∃F(x),,F(x);,,,:(1)f()g()+f()g()=0[f(x)g(x)]x==0;F(x)=f(x)g(x)(2)f()g()-f()g()=0,(g(x)!0),f()g()-f()g()g2()=0,[f(x)g(x)]x==0,F(x)=f(x)g(x)(3)f()+f()g()=0,eg()[f()+f()g()]=0,[eg(x)f(x)]x==0F(x)=eg(x)f(x)2f(b)-f(a)b-a=()f(b)-f(a)g(b)-g(a)=()%&2004-03-01%&李国成(1976∃)男,杭州师范学院初等教育学院严州校区,讲师∋69∋18720047JOURNALOFCHENGDUCOLLEGEOFEDUCATIONVol18.No7Jul20042f(x)[a,b],(a,b),(a,b),bf(b)-af(a)-(b-a)[f()+f()]=0:a,b,a,b,bf(b)-af(a)b-a=f()+f(),F(x)=xf(x)[a,b],F(b)-F(a)b-a,F(x)=xf(x)[a,b]:F(x)=xf(x),F(x)[a,b],(a,b),,(a,b),F(b)-F(a)b-a=F(),bf(b)-af(a)b-a=f()+f(),bf(b)-af(a)-(b-a)[f()+f()]=0,{bf(b)-af(a)-(b-a)[f(x)+xf(x)]}x==0,{[bf(b)-af(a)]x-(b-a)xf(x)}x==0F(x)=[bf(b)-af(a)]x-(b-a)xf(x),[a,b]3x1x20,:x1ex2-x2ex1=(1-)e(x1-x2),x1,x2:x1,x2,,x1,x2,,:(1)x1,x2x1ex2-x2ex1x1-x2=(1-)e(2)ex2x2-ex1x11x2-1x1=(1-)e(3)f(x)=exx,g(x)=1x[x1,x2]:(1),,f(b)-f(a)g(b)-g(a)=(),(),,,(2),(),,(),3f(n)()=0(n2)4f(x)[0,1],f(0)=f(1)=0,F(x)=x3f(x),(0,1),Fn()=0:F(x),F(x),Fn(x)[0,1],F(0)=F(1),,1(0,1)F(1)=0F(0)=[3x2f(x)+x3f(x)]x=0=0,,2(0,1),F((2)=0(0,1)!(0,1),F(()=0:(1)∀f(n)()=0#,n,f(n-1)(x),f(n-1)(x),(:,)(2)n,f(x)n-14f(n)()=k(k!0)5f(x)[0,1],(0,1),f(0)=f(1)=0,f(12)=1,(0,1),f()=1:f()=1∀f(x)=1∀f(x)=x∀f(x)-x=0,F(x)=f(x)-x:F(x)=f(x)-x,F(x)[0,1],(0,1)F(1)=f(1)-1=-10(f(1)=0);F(12)=f(12)-12=120(f(12)=1);,(12,1),F()=0F(0)=f(0)-0=0,F(x)[0,],(0,)(0,1)F()=0,f()=1:(1)F(x);(2)F(x),5(a,b),,(!),6f(x)[a,b],(a,b),f(a)=f(b)=1,,(a,b),e-[f()+f()]=1:e-[f()+f()]=1#e[f()+f()]=e,,[ef()]=e,F(x)=exf(x):F(x)=exf(x),F(x)[a,b],(a,b),ebf(b)-eaf(a)b-a=e[f()+f()](1)f(a)=f(b)=1,eb-eab-a=e[f()+f()],(x)=ex,(x)[a,b],(a,b),eb-eab-a=e(2)(1)(2)e-[f()+f()]=1(下转第74页)∋70∋720047:No7Jul2004,,,,,,;,,∀#,,,,,,4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;,%&[1]杨赛论数学的广泛应用与社会需求[J]中学数学教学参考,1996,(6)[2]曹一鸣数学教育的文化价值[J]数学教师,1997,(5)[3]邵瑞珍教育心理学[M]上海:上海教育出版社,1997[4]廖正峰学生创造力培养研究[M]1999[5]于衍芳论数学教育中人文价值的追求和学生人格的构建[J]中学数学月刊,2000,(6)(上接第70页)f(x),g(x),,;:,,,,6()7f(x)[a,b](0ab),(a,b),(a,b),f()=2f()ab:,2f()F(),F()G(),:,f(x)[a,b],(a,b),f()=f(b)-f(a)b-a,(a,b),f(b)-f(a)b-a=2f()ab,f(b)-f(a)b-aab=2f()()f(b)-f(a)1b-1a=-2f()()0ab,f(x)g(x)=1x[a,b],(a,b),f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f()g(),f(b)-f(a)1b-1a=f()12=-2f(),,(a,b)f()=2f()ab(),()(),:(1),,;(2),(),;(3)a,b∃∃∃∃∃∃;(4)()∋74∋720047:No7Jul2004