贝叶斯公式的推广

河南科技大学I贝叶斯公式的推广与应用摘要在概率论中，贝叶斯公式是最重要的公式之一，主要用于计算比较复杂事件的概率。它是在观察到事件B已发生的条件下，去寻找导致事件B发生的每个原因的概率。贝叶斯公式是一个“由果求因”公式，在实际生活中有着广泛的应用。本文针对贝叶斯公式，深入研究其应用和推广。第一章为引言部分，主要介绍了概率论发展简史、论文研究的依据及意义和国内外同类研究的综述。第二章证明了贝叶斯公式，并归纳了贝叶斯公式的不同形式，其中包括有随机事件形式的贝叶斯公式、随机变量形式的贝叶斯公式和矩阵形式的贝叶斯公式。第三章对贝叶斯公式进行了若干推广，包含有两个随机过程无关的贝叶斯公式、二重贝叶斯公式、广义贝叶斯公式以及二重广义贝叶斯公式。第四章首先介绍了贝叶斯公式在概率计算中的应用技巧，其次又着重介绍了贝叶斯公式在经济中和生活中的应用。第五章为结论分析部分，对本文研究内容进行大略的总结。关键词：贝叶斯公式；二重贝叶斯公式；广义贝叶斯公式；二重广义贝叶斯公式河南科技大学IITHEPROMOTIONANDAPPLICATIONOFBAYESIANFORMULAABSTRACTInprobabilitytheory,Bayesianformulaisoneofthemostimportantformulasanditisusedtocalculatetheprobabilityofcomplexevents.ItisaprobabilityofthereasonsofleadingtotheeventBundertheconditionoftheeventBhavingoccurred.Bayesianformulaisaformulathatistofindthereasonundertheconditionofhavingknowntheresult.Ithasawideapplicationsinreallife.Inthispaper,westudyitsapplicationandpromotion.Thefirstchapteristheintroduction,whichcontainsthedevelopmenthistoryofprobabilitytheory,thebasisandsignificanceofthethesisandreviewofsimilarstudiesabroad.ThesecondchapterprovesBayesianformulaandintroducesthedifferentBayesianformulaforms,includingtheformofrandomevents,randomvariablesandtheformofmatrixintheformofBayesianformula.ThethirdchapterextendstheBayesianformula,containingtwoirrelevantrandomprocessesBayesianformula,doubleBayesianformula,generalizedBayesianformulaanddoublegeneralizedBayesianformula.ThefourthchapterintroducestheBayesianformulaofapplicationskillsintheprobabilitycalculateandtheapplicationofBayesianformulaintheeconomyandlife.河南科技大学IIIThefifthchapteristheconclusionpartofanalysis,summarizingthisarticleresearchcontentroughly.KEYWORDS：Bayesianformula,DoubleBayesianformula,GeneralizedBayesianFormula,DoubleGeneralizedBayesianFormula河南科技大学IV目录第一章引言.....................................1§1.1概率论发展简史............................................1§1.2研究的依据与意义..........................................2§1.3国内外同类研究的概况综述..................................3第二章贝叶斯公式的详解及其不同形式..............4§2.1贝叶斯公式的定义及其证明..................................4§2.2贝叶斯公式的不同形式......................................5第三章贝叶斯公式的推广.........................10§3.1贝叶斯公式的一般推广.....................................10§3.2贝叶斯公式的广义推广.....................................14第四章贝叶斯公式的应用.........................16§4.1贝叶斯公式在概率计算中的应用技巧.........................16§4.1.1两个假定............................................16§4.1.2寻找完备事件组的方法................................17§4.2贝叶斯公式在经济上的应用.................................19§4.3贝叶斯公式在生活中的应用.................................22第五章结论分析.................................25参考文献........................................25致谢...........................................27河南科技大学1第一章引言§1.1概率论发展简史概率论产生于十七世纪，是由保险事业的发展而产生的，数学家们思考概率论中问题的源泉是来自于赌博者的请求。早在1654年，意大利医生兼数学家卡当，据说曾大量地进行过赌博，他在赌博时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽。在那个时代，虽然概率论的萌芽有些进展，但还没有出现真正的概率论。十七世纪中叶，法国贵族德·美黑在骰子赌博中，由于有紧急要处理的事情必须中途停止赌博，要靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但不知用什么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教。正是这封信使概率论向前迈出了第一步。帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题。于是，一个新的数学分支——概率论登上了历史舞台。三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。来自英国的牧师托马斯·贝叶斯于1763年发表的论文“论机会学中的一个问题”中提出了概率论中最重要的公式之一同时也是非常著名的公式——贝叶斯公式。在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论的发展，从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、车贝晓夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。但是，随着概率论中各河南科技大学2个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验和公用事业等方面都得到了重要应用。有越来越多的概率论方法被引入经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。§1.2研究的依据与意义贝叶斯公式是概率论中最重要的公式之一，主要用于计算比较复杂事件的概率，它实质上是加法公式和乘法公式的简单综合运用。贝叶斯公式出现在17世纪，从发现到现在，已经渗入到科学与社会的许多方面。它是在观察到事件B已发生的条件下，去寻找导致事件B发生的每个原因的概率。贝叶斯公式在实际生活中有广泛的应用，它可以帮助人们确定某些结果（事件B）发生的最可能的原因。随着计算机科学信息技术和数据库管理系统的迅速发展，政府和企业能通过网络收集到大量的信息，然而并不是所有的信息和数据都是有用的，如何从海量的信息和数据中寻找有价值的信息即这些信息在政府和企业的各项决策中具有重要的参考价值，成了困扰现代企业的一个重大难题。因此，探讨如何从海量的数据和信息中发现有价值的数据和信息，对于政府和企业来说具有非常重大的现实意义。利用贝叶斯公式并对这个公式进行适当的推广结合一些其它的数学方法，能有效的对海量的信息和数据进行分析，从中提取与决策相关信息和数据。河南科技大学3如今贝叶斯公式在金融、营销、客户关系管理、医疗、生物、电信等领域中都有广泛的应用，能有效的解决与之相关的问题。§1.3国内外同类研究的概况综述杨万才等[1]通过举出实例说明了贝叶斯公式在现实生活中具有很强的实用性。何超琴等[2]在条件真度的基础上，给出了计量逻辑学中二值公式真度的贝叶斯公式，并且在D-条件真度、蕴涵真度以及多值逻辑系统下讨论了贝叶斯公式。王洪春[3]主要归纳了贝叶斯公式的不同形式，包括随机事件形式的贝叶斯公式和随机变量形式的贝叶斯公式，提高了贝叶斯公式的实用性。茆诗松[4]用随机变量的密度函数叙述了贝叶斯公式，并推导出贝叶斯公式的连续型形式和离散型形式。拓展了贝叶斯公式的形式。张丽等[5]对贝叶斯公式进行了推广，主要是推广了两个随机过程的贝叶斯公式，并举出实际的例题对推广的贝叶斯公式进行了应用。河南科技大学4第二章贝叶斯公式的详解及其不同形式§2.1贝叶斯公式的定义及其证明本节我们将详细介绍贝叶斯公式及其证明，首先给出完备事件组[5]的定义:如果n个事件1,,nAA满足下列两个条件：（1）1,,nAA两两互不相容；（2）1nAA，那么，我们称这个n个事件1,,nAA构成样本空间的一个划分，也称构成一个完备事件组。定理1设n个事件1,,nAA构成样本空间的一个划分，B是一个事件。当0,0,1,,iPBPAin时，则有1,1,,iiinjjjPAPBAPABinPAPBA此式就称为贝叶斯公式，也成为逆概率公式[1]。贝叶斯公式实质是一个条件概率，它是通过乘法公式和全概率公式的组合而得到的。定理说明目标事件B发生的概率是在完备事件组1,,nAA基础上互不相容事件组1,,iABin的概率之和，可以视为：iA为事件B的诱发事件，iPAB为诱发成功的可能；若B已发生，则来自iA诱发成功的可