数学与应用数学-毕业论文----全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广

2010年度本科生毕业论文全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广学院：理工学院专业：数学与应用数学年级：2006级学生姓名：陈仁林学号：064012005导师及职称：邢灵博（讲师）2010年5月2010AnnualGraduationThesisoftheCollegeUndergraduateTheApplicationAndPromotionOfTheTotalProbabilityFormulaAndBayesianFormulaDepartment:InstituteofTechnologyMajor:MathematicsAndAppliedMathematicsGrade:2006Student’sName:ChenRen-linStudentNo.:064012005Tutor:lecturerXingling-boMay,2010毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果.对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意.作者签名：日期：毕业论文授权使用说明本论文（设计）作者完全了解琼州学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版.有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅.学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容.保密的论文（设计）在解密后适用本规定.作者签名：指导教师签名：日期：日期：陈仁林毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注主席（组长）琼州学院本科毕业论文摘要全概率公式和贝叶斯公式是概率论中很重要的公式,在概率论的计算中起着很重要的作用.本文对全概率公式和贝叶斯公式进行了仔细的分析,举例说明了它们的用法及它们所适用的概型.为了解决实际问题的需要,我们将全概率公式和贝叶斯公式进行了推广,举例说明了推广后的公式在实际应用中所适用的概型比原来的公式更广.准确运用全概率公式与贝叶斯公式及它们的推广形式，重在弄清楚事件间相互影响的次序,恰当地设出完备事件组.此外,本文结合实例说明了全概率公式与贝叶斯公式及它们的推广定理在产品检查、医疗诊断以及统计决策等中的应用.关键词:完备事件组；全概率公式；证明；推广；贝叶斯公式；应用琼州学院本科毕业论文ABSTRACTTotalprobabilityformulaandbayesianformulaareveryimportantformulaintheprobabilitytheory.Theyplayaveryimportantroleinthecalculationofprobabilitytheory.Thisarticleanalysiscarefullythetotalprobabilityformulaandthebayesianformula,andgivingmanyexamplestoexplaintheirusageandtheirapplicablemodel.Inordertosolvetheactualproblem，Weextendthetotalprobabilityformulaandthebayesianformula.UseingmanyexamplestoIllustratethattheextendedformulaswhicharesuitablefortheprobabilitymodelinthepracticalapplicationarewiderthantheoriginalformula.InordortouseCorrectlythetotalprobabilityformulaandthebayesianformulaandtheirpromotionforms,Itisveryimportanttomakeclearlythatthemutualinfluencebetweenthesequenceofevents,andtosettheexhaustiveeventsproperly.Moreover,thisarticlecombinemanyexamplestoexplainthetotalprobabilityformulaandthebayesianformulaandtheirextendedtheoremapplicationincheckingproduct、medicaldiagnosisandstatisticaldecisionandsoon.Keywords：Exhaustiveevents;Totalprobabilityformula;prove;Extend;bayesianformula;application.琼州学院本科毕业论文目录引言·····························1页第一章全概率公式的应用及其推广·················2页1.1完备事件组·······················2页1.2全概率公式·······················2页1.3全概率公式的应用····················2页1.3.1全概率公式在摸球模型中的应用···········2页1.3.2全概率公式在实际比赛中的应用···········3页1.3.3全概率公式在医疗诊断中的应用···········3页1.4全概率公式的推广····················4页1.4.1全概率公式的推广定理1及其应用··········4页1.4.2全概率公式的推广定理2及其应用··········5页1.4.3全概率公式的推广定理3及其应用··········6页1.4.4全概率公式的推广定理4及其应用··········7页第二章贝叶斯公式的应用及其推广·················9页2.1贝叶斯公式以及它与全概率公式的联系···········9页2.2贝叶斯公式的应用····················9页2.2.1贝叶斯公式在工厂产品检查中的应用·········9页2.2.2贝叶斯公式在医疗诊断中的应用··········10页2.2.3贝叶斯公式在统计决策中的应用··········11页2.3贝叶斯公式的推广···················12页2.3.1贝叶斯公式的推广定理1··············12页2.3.2贝叶斯公式的推广定理1的应用··········13页第三章全概率公式与贝叶斯公式的综合应用············15页3.1全概率公式与贝叶斯公式的综合应用···········15页第四章总结·························16页参考文献···························17页致谢····························18页琼州学院本科毕业论文1引言全概率公式与贝叶斯公式是概率论中重要的公式，主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科,起源于17世纪.发展到现在,已经深入到科学和社会的许多领域.从十七世纪到现在很多国家对这两个公式有了多方面的研究.长期以来,在大批概率统计工作者的不懈努力下,概率统计的理论更加完善,应用更加广泛,形成了众多分支,在现代数学中占有重要的地位.其中贝叶斯公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B（具体看文中第二章）已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式在实际中生活中有广泛的应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.目前，社会在飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断，决策概率分析这门学科越来越显示其重要性.其中贝叶斯公式主要用于处理先验概率与后验概率，是进行统计决策的重要工具.概率论对医学的渗透与结合，已成为现代医学领域的显著特征.利用数学方法，充分利用好全概率公式和贝叶斯公式及其推广形式，定量地对医学问题进行相关分析，使其结论更具有可信度，更有利于促进对病人的对症施治.利用好全概率公式和贝叶斯公式可以用来解决投资、保险、工程等一系列不确定的问题中.两个概率公式及推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率，有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息.灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大方便，而这些推广形式将进一步拓展全概率公式的适用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具.第一章全概率公式的应用及推广2第一章全概率公式的应用及推广1.1完备事件组在了解全概率公式之前，我们先来看一下完备事件组的概念.如果n个事件1,,nAA.满足下列两个条件:(1)1,,nAA.两两互不相容;(2)1nAA…；那么，我们称这个n个事件1,,nAA构成样本空间的一个划分，也称构成一个完备事件组.为了下面推广全概率公式的需要,我们首先介绍一下“全概率公式”.1.2全概率公式设n个事件构成样本空间的一个划分,B是一个事件.当()0PB,()0,iPA1,2,,in时则有：1()()(|)niiiPBPAPBA,在很多实际问题中，由于随机事件的复杂性，很难直接求得，但却很容易找到的一个完备事件组1,,nAA，且一般()iPA和i(|)PBA会在题目中告诉你，或可以通过计算得到，那么就能用全概率公式求出P（B）.全概率公式在实际生活中有广泛的应用，从下面几个例子中可以加深对它的了解.1.3全概率公式的应用1.3.1全概率公式在摸球模型中的应用例1：设甲袋中有a只白球，b只红球，从甲袋中任取一球放入已袋中，再从已袋中任取一球，试求已袋中取出的球是白球的概率？解：设A=从甲袋中取出的球是白球,B=从乙袋中取出的是白球,则A,A构成完备事件组，因此：P（B）=()(|)()(|)PAPBAPAPBA=a1ab1aab+1aaabab=aab琼州学院本科毕业论文31.3.2全概率公式在实际比赛中的应用例2、某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手8人，一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.4.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率？分析：问题实质上涉及到两个部分：第一,选出的射手不知道是哪个级别的,由全概率公式知,都应该考虑到,才为全面.第二,某个级别的射手能通过选拔进入比赛的概率这是已知道的,记为：iA=“选出的i级射手”，1,2,3i，则123,,AAA构成一个完备事件组，有：123AAA，且ijAA，ij，1,2,3ij、由题意：14()20PA,28()20PA,38()20PAB“选出的射手能通过选拔进入比赛”，要求：()?PB则：112233()()(|)()(|)()(|)PBPAPBAPAPBAPAPBA=4880.90.70.4202020=62%即任选一名选手能通过选拔进入比赛的概率为62%.这个数比0.9、0.7都小，但比0.4大，就是因为三种可能性都考虑到了.1.3.3全概率公式在医疗诊断中的应用例3、据调查，在50个耳聋人中有4人色盲，在9950个非耳聋人中有796人色盲，分析两种疾病是否相关.分析:设事件A为耳聋人，事件B为色盲人，()PAp，则()1PAp.依题意可得，4(|)50PBA=0.08,796(|)9950PBA=0.08由全概率公式，1()()(|)niiiPBPAPBA=()()(|)()(|)PBPAPBAPAPBA=p0.08p（1-）0.08=0.08所以，()