复数计算练习题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a，b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C2.10i2－i＝()A．－2＋4iB．－2－4iC．2＋4iD．2－4i答案A3．若w＝－12＋32i，则w4＋w2＋1等于()A．1B．0C．3＋3iD．－1＋3i答案B4．在(12＋32i)12的展开式中，所有奇数项的和等于()A．－1B．1C．0D．i答案B5．已知z1＋i＝2＋i，则复数z＝()A．－1＋3iB．1－3iC．3＋iD．3－i答案B解析∵z1＋i＝2＋i，∴z＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i＋i2＝1＋3i.∴z＝1－3i.6．复数2i1＋i2等于()A．4iB．－4iC．2iD．－2i答案C7．复数2＋2i41－3i5等于()A．1＋3iB．－1＋3iC．1－3iD．－1－3i答案B8．复数1＋2i3＝()A．1＋2iB．1－2iC．－1D．3答案A解析1＋2i3＝1＋2－i＝1＋2i，故选A.9．在复数集C内分解因式2x2－4x＋5等于()A．(x－1＋3i)(x－1－3i)B．(2x－2＋3i)(2x－2－3i)C．2(x－1＋i)(x－1－i)D．2(x＋1＋i)(x＋1－i)答案B10．复数i3(1＋i)2＝()A．2B．－2C．2iD．－2i答案A解析由题意得i3(1＋i)2＝－i·2i＝－2i2＝2，选A.11．复数z＝11－i的共轭复数是()A.12＋12iB.12－12iC．1－iD．1＋i答案B解析z＝11－i＝1＋i1－i1＋i＝12＋12i，z＝12－12i，故选B.12．已知复数z＝1－i，则z2－2zz－1＝()A．2iB．－2iC．2D．－2答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知复数z＝2＋i，则z4－4z3＋6z2－4z－1＝________.答案－6解析z4－4z3＋6z2－4z－1＝(z4－4z3＋6z2－4z＋1)－2＝(z－1)4－2＝(1＋i)4－2＝[(1＋i)2]2－2＝(2i)2－2＝－4－2＝－6.14．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝________(n为正整数)．答案015．已知1－i31＋i＝a＋3i，则a＝________.答案－2－3i16．设z∈C，z＋|z|＝2＋i，则z＝________.答案34＋i解析设z＝a＋bi，则|z|＝a2＋b2.∴a＋bi＋a2＋b2＝2＋i.∴a＋a2＋b2＝2，b＝1.∴a＝34，b＝1，∴z＝34＋i.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)若复数z＝m2＋m－2＋(2m2－m－3)i(m∈R)的共轭复数z对应的点在第一象限，求实数m的集合．解析由题意得z＝m2＋m－2－(2m2－m－3)i.∴m2＋m－20，－2m2－m－30，即m2＋m－20，2m2－m－30，解得1m32.18．(12分)计算(12＋32i)3.解析方法一∵(12＋32i)3＝(12＋32i)2·(12＋32i)＝(－12＋32i)(12＋32i)＝(32i)2－(12)2＝－34－14＝－1.方法二原式＝(12)3＋3×(12)2×32i＋3×12×(32i)2＋(32i)3＝18＋338i－98－338i＝－1.19．(12分)已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0,2π)，设AB→对应的复数为z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y＝12x上，求θ的值．解析(1)z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－i(2sin2θ)．(2)点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．由点P在直线y＝12x，得－2sin2θ＝－12.∴sin2θ＝14，∴sinθ＝±12.又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π6，56π，76π，116π.20．(12分)已知复数z＝1－i2＋31＋i2－i，若z2＋az＋b＝1－i，试求实数a、b的值．解析化简得z＝1＋i代入方程，得a＋b＋(2＋a)i＝1－i.∴a＋b＝1，2＋a＝－1，∴a＝－3，b＝4.21．(12分)设z＝(a2－a－6)＋a2＋2a－15a2－4i(a∈R)，试判断复数z能否为纯虚数？并说明理由．解析假设复数z能为纯虚数，则a2－a－6＝0，a2＋2a－15a2－4≠0.∴a＝3或a＝－2，a≠－5且a≠3且a≠±2.∴不存在a使复数z为纯虚数．22．(12分)已知a∈R，问复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？解析由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，得z的实部为正数，z的虚部为负数．∴复数z对应的点在第四象限．设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＝a2－2a＋4，y＝－a2－2a＋2.消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．∴复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为y＝－x＋2(x≥3)．