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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a,b∈R,则a=b是(a-b)+(a+b)i为纯虚数的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C2.10i2-i=()A.-2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i答案A3.若w=-12+32i,则w4+w2+1等于()A.1B.0C.3+3iD.-1+3i答案B4.在(12+32i)12的展开式中,所有奇数项的和等于()A.-1B.1C.0D.i答案B5.已知z1+i=2+i,则复数z=()A.-1+3iB.1-3iC.3+iD.3-i答案B解析∵z1+i=2+i,∴z=(2+i)(1+i)=2+3i+i2=1+3i.∴z=1-3i.6.复数2i1+i2等于()A.4iB.-4iC.2iD.-2i答案C7.复数2+2i41-3i5等于()A.1+3iB.-1+3iC.1-3iD.-1-3i答案B8.复数1+2i3=()A.1+2iB.1-2iC.-1D.3答案A解析1+2i3=1+2-i=1+2i,故选A.9.在复数集C内分解因式2x2-4x+5等于()A.(x-1+3i)(x-1-3i)B.(2x-2+3i)(2x-2-3i)C.2(x-1+i)(x-1-i)D.2(x+1+i)(x+1-i)答案B10.复数i3(1+i)2=()A.2B.-2C.2iD.-2i答案A解析由题意得i3(1+i)2=-i·2i=-2i2=2,选A.11.复数z=11-i的共轭复数是()A.12+12iB.12-12iC.1-iD.1+i答案B解析z=11-i=1+i1-i1+i=12+12i,z=12-12i,故选B.12.已知复数z=1-i,则z2-2zz-1=()A.2iB.-2iC.2D.-2答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.已知复数z=2+i,则z4-4z3+6z2-4z-1=________.答案-6解析z4-4z3+6z2-4z-1=(z4-4z3+6z2-4z+1)-2=(z-1)4-2=(1+i)4-2=[(1+i)2]2-2=(2i)2-2=-4-2=-6.14.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=________(n为正整数).答案015.已知1-i31+i=a+3i,则a=________.答案-2-3i16.设z∈C,z+|z|=2+i,则z=________.答案34+i解析设z=a+bi,则|z|=a2+b2.∴a+bi+a2+b2=2+i.∴a+a2+b2=2,b=1.∴a=34,b=1,∴z=34+i.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)若复数z=m2+m-2+(2m2-m-3)i(m∈R)的共轭复数z对应的点在第一象限,求实数m的集合.解析由题意得z=m2+m-2-(2m2-m-3)i.∴m2+m-20,-2m2-m-30,即m2+m-20,2m2-m-30,解得1m32.18.(12分)计算(12+32i)3.解析方法一∵(12+32i)3=(12+32i)2·(12+32i)=(-12+32i)(12+32i)=(32i)2-(12)2=-34-14=-1.方法二原式=(12)3+3×(12)2×32i+3×12×(32i)2+(32i)3=18+338i-98-338i=-1.19.(12分)已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos2θ,其中θ∈(0,2π),设AB→对应的复数为z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=12x上,求θ的值.解析(1)z=z2-z1=-cos2θ-sin2θ+i(cos2θ-1)=-1-i(2sin2θ).(2)点P的坐标为(-1,-2sin2θ).由点P在直线y=12x,得-2sin2θ=-12.∴sin2θ=14,∴sinθ=±12.又∵θ∈(0,2π),∴θ=π6,56π,76π,116π.20.(12分)已知复数z=1-i2+31+i2-i,若z2+az+b=1-i,试求实数a、b的值.解析化简得z=1+i代入方程,得a+b+(2+a)i=1-i.∴a+b=1,2+a=-1,∴a=-3,b=4.21.(12分)设z=(a2-a-6)+a2+2a-15a2-4i(a∈R),试判断复数z能否为纯虚数?并说明理由.解析假设复数z能为纯虚数,则a2-a-6=0,a2+2a-15a2-4≠0.∴a=3或a=-2,a≠-5且a≠3且a≠±2.∴不存在a使复数z为纯虚数.22.(12分)已知a∈R,问复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限?复数z对应点的轨迹是什么?解析由a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,得z的实部为正数,z的虚部为负数.∴复数z对应的点在第四象限.设z=x+yi(x,y∈R),则x=a2-2a+4,y=-a2-2a+2.消去a2-2a,得y=-x+2(x≥3).∴复数z对应点的轨迹是一条射线,其方程为y=-x+2(x≥3).
本文标题:复数计算练习题
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