二阶及三阶行列式

一、二阶及三阶行列式二、空间直角坐标系第一模块向量代数空间解析几何第一节二阶及三阶行列式空间直角坐标系设二元一次方程为一、二阶及三阶行列式1.二阶行列式我们从解二元一次方程组入手，.,222111cybxacybxa当a1b2a2b10时，方程组的解为,12211221bababcbcx12211221babacacay①二阶行列式含有两行两列.a1,b1,a2,b2叫做行列式的元素，行列式中横排叫做行，纵排叫做列，这就叫二阶行列式，为了便于记忆，我们把a1b2a2b1记作,2211baba,12212211babababa即2211baba()(+)26)1(013213012,83)2(212231利用行列式，二元一次方程组的解可以表示成：,22112211bababcbcx.22112211babacacay,12211221bababcbcx.12211221babacacay是由方程组①中x、y的系数按原来次序排列成的，称为方程组的系数行列式，分母中的行列式2211baba记为D.行列式是把系数行列式中x的系数a1，a22221bcbc而成的换成方程组右端的常数项c1，c2行列式，记为Dx.行列式是把系数行列式中y的系数b1，b22211caca换成常数项c1，c2而成的行列式，记为Dy.所以，二元一次方程组的解又可表示为:)0(,DDDyDDxyx其中例1解方程组06450732yxyx解原方程组即为.645,732yxyx,234532D因为,464637xD,236572yD所以,22346DDxx.12323DDyy2.三阶行列式333222111cbacbacba312231123213132321cbacbacbacbacbacba这就是三阶行列式.其中ai,bi,ci(i=1,2,3)称为行列式的元素，横排称为行，纵排称为列.实线上三个元素的连乘积取正号，三阶行列式的计算可依下表进行:虚线上三个元素的连乘积取负号.即这样，三元一次方程组的解，可用三阶行列式表示，333222111cbacbacba321aaa321bbb)()()()()()(当D0时，.,,DDzDDyDDxzyx其中称为方程组的系数行列式，333222111cbacbacbaD是系数行列式中和zyxDDD,x、y和z的系数依次分别换成方程组右端的常数项而成的行列式.例2计算行列式的值054321907027430519924735010解520417054321907)()()()()()(132例3解方程0245351132xx25)2(x)5(3)3(x)4(1115)5(x)2(3)4(x)3(12,248x245351132xx解3x解之，得0248x所以原方程为根据行列式的定义，三阶行列式也可以用二阶行列式表示.其具体表达式如下:333222111cbacbacba321321321bacacbcba123123123bacacbcba)(23321cbcba)(23321acacb)(23321babac.332213322133221babaccacabcbcba054321907053270431054219)3(9)15(7132例如，例2中的行列式可按如下方法计算2以的角度转向y轴的正向，1.空间直角坐标系过空间定点O作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点，并且通常取相同的长度单位.这三条数轴分别称为x轴，y轴，z轴.各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定:以右手握住z轴，让右手的四指从x轴的正向，图8–1这时大拇指所指的方向就是z轴的正向.这个法则叫做右手法则.右手法则二、空间直角坐标系这样就组成了空间直角坐标系.O称为坐标原点，每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面.x轴与y轴所确定的坐标面称为xy坐表面，类似地有yz坐标面，zx坐标面.这些坐标面把空间分成八个部分，每一个称为一个卦限.x、y、z轴的正半轴的卦限称为第I卦限，xyzⅧⅦⅥⅤⅣⅠⅢⅡO八卦限空间的点就与一组有序数组x，y，z之间建立了一一对应关系.按逆时针的方向从第I卦限开始，从Oz轴的正向向下看，，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限;第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.xyzOMPRQ它们分别称为x坐标，y坐标和z坐标.有序数组x，y，z就称为点M的坐标，记为M(x，y，z)，过点M1M2各作三张平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图的长方体.求它们之间的距离d=|M1M2|.设空间两点M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2),2d2221QMQM221MM(△M1QM2是直角三角形)22221QMPQPM易知(△M1PQ是直角三角形)zOy1xyz1z2y2x2x1QPM1M2P1M2M2.两点之间的距离图8-4212212212)()()(zzyyxx222221QMMPPM所以.)()()(212212212zzyyxxd特别地，点M(x,y,z)与原点O(0,0,0)的距离222zyxOMd两点间距离例4已知A(－3,2,1)、B(0,2,5).△AOB的周长.解由两点间距离公式可得,5)51()22()03(222BA由两点间距离公式可得,1412)3(222OA.29520222BO所以，△AOB的周长.1429145BOAOABl