现代控制理论-东北大学高立群-清华大学出版社-第3章

思路岛答案网章“状态方程的解”习题解答3.1计算下列矩阵的矩阵指数teA。200200(1)020;(2)031002003AA0001(3);(4)1040AA（1）解222000000tttteeeeA（2）解233300000ttttteeeteeA（3）解122011001111ssssssssssIAIA11101tteLsttAIA（4）解：14sssIA思路岛答案网整理提供1222221144124242244ssssssssssIA221221242422441cos2sin222sin2cos2tssseLsssttttA3.2已知系统状态方程和初始条件为1001010,000121xxx(1)试用拉氏变换法求其状态转移矩阵；(2)试用化对角标准形法求其状态转移矩阵；(3)试用化teA为有限项法求其状态转移矩阵；(4)根据所给初始条件，求齐次状态方程的解。（1）解12100010012OOAAA，其中，12101,12AA则有1200ttteeeAAA而1tteeA，2112teLsAIA思路岛答案网整理提供112101220111(1)(2)101111212sssssssssssIA2112220ttttteeLseeeAIA所以状态转移矩阵为112200000tttttteeLseeeeAIA（2）解210(1)(2)012IA121,2对于11，1000111011PP对于22，2210001001PP110101111PP思路岛答案网APP2200000tttttteeeeeeP（3）解矩阵的特征值为1,21,32对于32有：2012()2()4()tettt对于1,21有：012()()()tettt因为是二重特征值，故需补充方程12()2()ttett从而联立求解，得：202122()2()322()tttttttttetetteeeteete思路岛答案网整理提供20122222222()()()20010002032201000201210010001001001201200000ttttttttttttttttttettteteeteteeeeteeeteeeeeeAIAA（4）解：0)0222()()(0)001000001ttttttttttteteeeeeeeeA(Axxx3.3矩阵A是22的常数矩阵，关于系统的状态方程式xAx，有1(0)1x时，22tteex2(0)1x时，2tteex试确定这个系统的状态转移矩阵(,0)t和矩阵A。解：因为系统的零输入响应是(,0)(0)ttxx所以思路岛答案网(,0)1ttete，22(,0)1ttete将它们综合起来，得22122(,0)11tttteetee122222222122(,0)11122112222tttttttttttttttteeteeeeeeeeeeeeee而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵0(,)tt满足微分方程00,,dttttdtA和初始条件00,ttI因此代入初始时间00t可得矩阵A为：0100022220(,)(,)2224240213tttttttttttdttttdteeeeeeeeA3.9已知系统xAx的转移矩阵0(,)tt是2202222()(,)2tttttttteeeetteeee时，试确定矩阵A。思路岛答案网(,)tt是状态转移矩阵，所以有00(,)(,)dttttdtA将00t，00(,)ttI代入得：0213A3.10已知系统状态空间表达式为011341uxx11yx(1)求系统的单位阶跃响应；(2)求系统的脉冲响应。（1）解0134A，1,111BC1(4)3(3)(1)034IA121,311时，1111013301PP23时，2231013103PP1113P思路岛答案网P133333331110022131100223111222233132222ttttttttttttteeeeeeeeeeeeeAPP将()1()utt代入求解公式得：3313323111(0)2222()(0)33132222tttttttteeeextxeeeex+3()3()3()3()013112333ttttttttteeeedeeee331233123(0)(0)122333(0)(0)122tttttttttteeeexxeeeeexxe若取(0)0x，则有1()1ttetex111()11221ttteyteex（2）解由（1）知思路岛答案网A33333111222233132222tttttttteeeeeeee取()(0)ut，则有3313323()3()3()3()03312313111(0)2222()(0)33132222131(0)123333(0)(0)2233(0)2tttttttttttttttttttttttteeeextxeeeeeeeedeeeeeeeexxeeexx323(0)2ttteexe若取0(0)0x，则有()ttetex，()112ttteytee3.11求下列系统在输入作用为：①脉冲函数；②单位阶跃函数；③单位斜坡函数下的状态响应。(1)1001abaubabxx(2)0101uababxx（1）解0000attbtaeebeAA①()()utt，思路岛答案网整理提供()1()02121000001001(0)1(0)atattbtbtatatbtbtxeebatdxeeabexebaexebax取00x，则11atbtebatebax②1utt，()1()021201101(0)()()1(0)()()atattbtbtatatbtbtexetdexbaeeexabaabaeexbbabbax若取00x，则有1()()1()()atbteabaabatebbabbax③utt，()1()20(0)1(0)tatatbtbtexettdbaexex思路岛答案网整理提供221222122222101011010atatbtbtatatbtbtteexaaaexbatebbbteexabaabaabateexbbabbabba若取00x，则有222211atbtteabaabaabattebbabbabbax（2）解010,1ababAB10abababababIA所以12,ab1a时，111010aabbaPP2b时，221010bababPP11abP思路岛答案网P11110011001atattbtbtatbtatbtatbtatbtbeeeabaabeebeaeeeababeabeaebeAPP①()()utt，12()()()()()()()()0(0)1(0)01(0)1()1atbtatbtatbtatbttatbtatbt