2018年秋高中数学-随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2.2.1条件概率学案新人教A版

1专题课件2.2.1条件概率学习目标：1.了解条件概率的概念.2.掌握求条件概率的两种方法．(难点)3.能利用条件概率公式解一些简单的实际问题．(重点)[自主预习·探新知]1．条件概率的概念一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．2．条件概率的性质(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A与B互斥，则P(B|A)＝0.()(2)若事件A等于事件B，则P(B|A)＝1.()(3)P(B|A)与P(A|B)相同．()[解析](1)√因为事件A与B互斥，所以在事件A发生的条件下，事件B不会发生．(2)√因为事件A等于事件B，所以事件A发生，事件B必然发生．(3)×由条件概率的概念知该说法错误．[答案](1)√(2)√(3)×2．若P(AB)＝35，P(A)＝34，则P(B|A)＝()【导学号：95032141】A．54B．45C．35D．34B[由公式得P(B|A)＝PABPA＝3534＝45.]3．下面几种概率是条件概率的是()A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率2B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，则小明在一次上学中遇到红灯的概率B[由条件概率的定义知B为条件概率．]4．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．0.5[根据条件概率公式知P＝0.40.8＝0.5.][合作探究·攻重难]利用定义求条件概率一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；(2)求P(B|A)．[解]由古典概型的概率公式可知(1)P(A)＝25，P(B)＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P(AB)＝2×15×4＝110.(2)P(B|A)＝PABPA＝11025＝14.[规律方法]1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)＝PABPA.2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A、B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．3[跟踪训练]1．设A，B为两个事件，且P(A)＞0，若P(AB)＝13，P(A)＝23，则P(B|A)＝________.12[由P(B|A)＝PABPA＝1323＝12.]2．有一匹叫Harry的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry赢了15场．如果明天下雨，Harry参加赛马的赢率是()A．15B．12C．34D．310B[此为一个条件概率的问题，由于是在下雨天参加赛马，所以考查的应该是Harry在下雨天的比赛中的赢率，则P＝1530＝12.]缩小样本空间求条件概率一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率.【导学号：95032142】[思路探究]本题可以用公式求解，也可以用缩小样本空间的方法直接求解．[解]法一：(定义法)设Ai＝{第i只是好的}(i＝1,2)．由题意知要求出P(A2|A1)．因为P(A1)＝610＝35，P(A1A2)＝6×510×9＝13，所以P(A2|A1)＝PA1A2PA1＝59.法二：(直接法)因事件A1已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可，在A1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝AB发生的可能数A发生的可能数＝59.[规律方法]P(B|A)表示事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率．因此利用缩小样本空间的观点计算条件概率时，首先明确是求4“在谁发生的前提下谁的概率”，其次转换样本空间，即把给定事件A所含的基本事件定义为新的样本空间，显然待求事件B便缩小为事件AB，如图所示，从而P(B|A)＝n(AB)n(A).[跟踪训练]3．一个大正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)、P(A|B)．[解]根据图形(如图)由几何概型的概率公式可知P(AB)＝19P(A|B)＝nABnB＝14.求互斥事件的条件概率[探究问题]1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？[提示]掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？[提示]“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？[提示]设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C，则所求事件为B∪C|A.∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝16＋16＝13.在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.【导学号：95032143】5[解]法一：(定义法)设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第三个球为黑球”为事件C.则P(A)＝110，P(AB)＝1×210×9＝145，P(AC)＝1×310×9＝130.所以P(B|A)＝PABPA＝145÷110＝29，P(C|A)＝PACPA＝130÷110＝13.所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝29＋13＝59.所以所求的条件概率为59.法二：(直接法)因为n(A)＝1×C19＝9，n(B∪C|A)＝C12＋C13＝5，所以P(B∪C|A)＝59.所以所求的条件概率为59.[规律方法]1．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．[跟踪训练]4．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．[解]设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题而另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝C610C620＋C510C110C620＋C410C210C620＝12180C620，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝PAPD＋PBPD＝210C62012180C620＋2520C62012180C620＝1358，即所求概率为1358.[当堂达标·固双基]61．已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，则P(AB)等于()A.56B.910C.215D.115C[由P(B|A)＝PABPA，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝13×25＝215.]2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是()【导学号：95032144】A．14B．13C．12D．1B[因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是13.]3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.12[∵P(AB)＝14，P(A)＝12，∴P(B|A)＝12.]4．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________.【导学号：95032145】[解析]法一(定义法)设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)＝C16C27，P(AB)＝1C27，故P(B|A)＝PABPA＝16.法二(直接法)由题意知本题是一个等可能事件的概率，一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班，则还剩下6天，那么周六晚上值班的概率为16.[答案]165．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？[解]法一(定义法)由题意得球的分布如下：玻璃球木质球总计红2357蓝4711总计61016设A＝{取得蓝球}，B＝{取得玻璃球}，则P(A)＝1116，P(AB)＝416＝14.∴P(B|A)＝PABPA＝141116＝411.法二(直接法)∵n(A)＝11，n(AB)＝4，∴P(B|A)＝nABnA＝411.