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类型一古典概型与分布列1.(本小题满分12分)某中学准备招聘一批优秀大学生到本单位就业,但在签约前要对他们的师范生素质进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数),如果从中随机选2人参加测试,其中恰为一男一女的概率为815.(1)求该小组中女生的人数;(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率为34,每个男生通过的频率为23.现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试,记这3个人中通过测试的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.2.(本小题满分12分)某市直小学为了加强管理,对全校教职工实行新的临时事假制度:每位教职工每月在正常的工作时间,临时有事,可请假至多3次,每次至多1小时.现对该制度实施以来50名教职工请假的次数进行调查统计,结果如下表所示.(1)从该小学任选两名教职工,用η表示这两人请假次数之和,记“函数f(x)=x2-ηx-1在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件A,求事件A发生的概率P;(2)从该小学任选两名教职工,用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ).3.(本小题满分12分)电子商务在我国发展迅猛,网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动,在网页的界面上打出广告:高级口香糖,10元钱3瓶,有8种口味供你选择(其中有一种为草莓味).小王点击进入网页,只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起,看不见具体口味,由购买者随机点击进行选择.(各种口味的高级口香糖均超过3瓶,且各种口味的瓶数相同)(1)小王花10元钱买3瓶,请问小王共有多少种不同的选择方式?(2)小王花10元钱买3瓶,由小王随机点击3瓶,请列出草莓味口香糖瓶数ξ的分布列,并计算其数学期望.4.(本小题满分12分)某科技公司投资生产A,B两种新型空气净化器,其质量按测试指标划分:指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种空气净化器各100件进行检测,检测结果统计如下:测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100)净化器A81240328净化器B71840296(1)试分别估计A,B两种新型空气净化器为正品的概率;(2)生产1件净化器A,若是正品可赢利50元,若是次品则亏损10元;生产1件净化器B,若是正品可赢利100元,若是次品则亏损20元,在(1)的前提下.①求生产5件净化器B所获得的利润不少于300元的概率;②记ξ为生产1件净化器A和1件净化器B所获得的总利润,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).请假次数0123人数5102055.(本小题满分12分)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量,使用时间越长,表明质量越好,且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品.现用A,B两种不同型号的节能灯做试验,各随机抽取部分产品作为样本,得到试验结果的频率分布直方图如图所示:以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率.(1)现从大量的A,B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,求恰有两件是优质品的概率;(2)已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”.通过多年统计发现,A型节能灯每件产品的利润y(单位:元)与其使用时间t(单位:千小时)的关系如下表:使用时间t(单位:千小时)t44≤t6t≥6每件产品的利润y(单位:元)-202040若从大量的A型节能灯中随机抽取两件,其利润之和记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.6.(本小题满分12分)甲、乙两人参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,画出茎叶图如图:(1)指出学生乙成绩的中位数;(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,你认为派哪位学生参加,成绩比较稳定?(3)若将频率视为概率,对学生甲在今后3次数学竞赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).7.“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目.选手面对1-4号4扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐,选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.正确回答每一扇门后,选手可自由选择带着奖金离开比赛,也可继续挑战后面的门以获得更多奖金(奖金金额不累加).但是一旦回答错误,奖金将清零,选手也会离开比赛.在一次场外调查中,发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段:20-30,30-40(单位:岁),其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.每扇门对应的家庭梦想基金(单位:元)(1)写出2×2列联表并判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关?说明你的理由.(下面的临界值表供参考)P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式:K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d,其中n=a+b+c+d)(2)若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为45,34,23,13,正确回答一扇门后,选择继续回答下一扇门的概率是12,且各扇门回答正确与否互不影响.设该选手所获家庭梦想基金总数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).第一扇门第二扇门第三扇门第四扇门10002000300050001.解析(1)设该小组有n个女生,根据题意,得C1nC110-nC210=815,(3分)解得n=6或n=4(舍去).(5分)∴该小组中有6个女生.(6分)(2)由题意知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=13×13×14=136,(7分)P(ξ=1)=C12×23×13×14+(13)2×34=736,(8分)P(ξ=2)=C12×23×13×34+(23)2×14=49,(9分)P(ξ=3)=(23)2×34=13.(10分)∴ξ的分布列为ξ0123P1367364913∴E(ξ)=0×136+1×736+2×49+3×13=2512.(12分)2.思路(1)根据零点存在定理,先确定η的范围,再由η是自然数,确定η的值,然后根据古典概型及互斥事件的概率计算公式计算即可;(2)根据题意,两人请假次数之差的绝对值可以为0,1,2,3,然后分别求出各自的概率,列出分布列,再根据数学期望的公式计算.解析(1)因为函数f(x)=x2-ηx-1过(0,-1)点,在区间(4,6)上有且只有一个零点,所以f,f,即16-4η-10,36-6η-10.解得154η356,所以η=4或η=5.(3分)当η=4时,P=C220+C110C115C250=68245,当η=5时,P=C120C115C250=1249.(5分)因为η=4与η=5为互斥事件,所以P=68245+1249=128245.(6分)(2)由题意知,ξ的所有可能取值分别是0,1,2,3,(7分)P(ξ=0)=C25+C210+C220+C215C250=27,P(ξ=1)=C15C110+C110C120+C115C120C250=2249,P(ξ=2)=C15C120+C110C115C250=1049,P(ξ=3)=C15C115C250=349.(9分)从而ξ的分布列为ξ0123P2722491049349ξ的数学期望为E(ξ)=0×27+1×2249+2×1049+3×349=5149.(12分)3.解析(1)若3瓶口味均不一样,有C38=56种选择;若其中2瓶口味一样,有C18C17=56种选择;若3瓶口味一样,有C18=8种选择.所以小王共有56+56+8=120种选择.(4分)(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.由于各种口味的高极口香糖均超过3瓶且瓶数相同,有8种不同口味,所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率均为18.(6分),故随机变量ξ服从二项分布,即ξ~B(3,18),P(ξ=0)=C03×(18)0×(1-18)3=343512,P(ξ=1)=C13×(18)1×(1-18)2=147512,P(ξ=2)=C23×(18)2×(1-18)1=21512,P(ξ=3)=C33×(18)3×(1-18)0=1512.所以ξ的分布列为其数学期望E(ξ)=np=3×18=38.4.解析(1)依题意得,净化器A为正品的概率为80100=45,净化器B为正品的概率为75100=34.(3分)(2)①设生产的5件净化器B中正品件数为x,则有次品(5-x)件,由题意知100x-20(5-x)≥300,解得x=4或5.设“生产5件净化器B所获得的利润不少于300元”为事件C,则P(C)=C45(34)4×14+C55(34)5=81128.(6分)②依题意,随机变量ξ的所有可能取值为150,90,30,-30,则P(ξ=150)=45×34=35,P(ξ=90)=15×34=320,P(ξ=30)=45×14=15,P(ξ=-30)=15×14=120.(8分)所以ξ的分布列为ξ1509030-30P3532015120数学期望E(ξ)=150×35+90×320+30×15+(-30)×120=108.(12分)ξ0123P3435121475122151215125.解析(1)从A型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P(A)=12.(1分)从B型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P(B)=25.(2分)∴从A,B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,恰有两件是优质品的概率P=C12(12)1(12)1×C12(25)1(35)1+C22(12)2×C22(35)2×C22(12)2×C22(25)2=37100.(6分)(2)据题意,知X的可能取值为-40,0,20,40,60,80.(7分)∵P(X=-40)=C22(110)2=1100,P(X=0)=C12(110)1×(25)1=225,P(X=20)=C12(110)1×(12)1=110,P(X=40)=C22(25)2=425,P(X=60)=C12(25)1×(12)1=25,P(X=80)=C22(12)2=14.∴X的分布列为X-40020406080P11002251104252514∴数学期望E(X)=10(-4×1100+0+2×110+4×425+6×25+8×14)=526.解析(1)依题意,学生乙成绩的中位数为83+852=84.(3分)(2)派甲参加比较合适,理由如下:x-甲=18(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85,x-乙=18(70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5)=85,s2甲=35.5,s2乙=41,∴x-甲=x-乙,且s2甲s2乙.∴甲的成绩比较稳定.(7分)(3)记“甲在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A,则P(A)=68=34,(8分)∴P(ξ=k)=Ck3(34)k(1-34)3-k,k=0,1,2,3.∴ξ的分布列为∴E(ξ)=0×164+1×964+2×2764+3×2764=94.(或E(ξ)=3×34=94)(12分)7.解析(1)根据所给的条形图得到列联表如下:正确错误合计20-30(岁)10304030-40(岁)107080合计20100120根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到K2=-240×80×20×100=32.706,(3分)∴有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关.(4分)(2)ξ的所有可能取值分别为:0,1000,2000,3000,5000,则P(ξ=0)=1-25-320-120-160=2360.P(ξ=1000)=45×12=25,P(ξ=2000)=45×12×34×12=320,P(ξ=3000)=45×12×34×12×23×12=120,P(ξ=5000)=45×12×34×12×23×12×13=160,所以ξ的分布列为ξ的数学期望E(ξ)=0×2360+1000×25+2000×320+3000×120+5000×160=
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