基本初等函数的导数公式

第三章导数及其应用3.2导数的计算复习1.求函数的导数的方法是:(1)()();yfxxfx求函数的增量(2):()();yfxxfxxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx求极限，得导函数说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.2.函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值,即.这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0xf)(xf0|)()(0xxxfxf3.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.4.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy复习根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式:公式1:.0()CC为常数0:(),()(),0,()lim0.xyyfxCyfxxfxCCxyfxCx解1)函数y=f(x)=c的导数.几个常用函数的导数2)函数y=f(x)=x的导数.'00'(+)()1,limlim11,1xxyfxxfxxxxxxxyxyx因为所以y若表示路程关于时间的函数，则y可以解释为某物体的瞬时速度为1的匀速运动。几个常用函数的导数3)函数y=f(x)=x2的导数.22222'00(+)()2()2,limlim(2)2.xxyfxxfxxxxxxxxxxxxxxxyxxxx（）因为所以y几个常用函数的导数4)函数y=f(x)=的导数.1x2'220011(+)()()1,()11limlim().xxyfxxfxxxxxxxxxxxxxxxxxyxxxxx因为所以y几个常用函数的导数请同学们观察下列函数的导数:22)(),3)(),14)(),yfxxyfxxyfxx'1y21'yx'2yx表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1这又说明什么?公式2:.)()(1Qnnxxnn请注意公式中的条件是,但根据我们所掌握的知识,只能就的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.Qn*Nn;2)11.yxy例1.已知，1)求求曲线在点（，）处的切线方程xyxxxxxx解：1）0011limlim.2xxyyxxxxx1:1(1).222yxx11切线方程即：y=2)基本初等函数的导数公式：11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则基本初等函数的导数公式及导数的运算法则练习1：求下列函数的导数(1)y＝1x2(2)y＝3x(3)y＝2x(4)y＝log2x(1)y′＝－2x－3(2)y′＝13x－23(3)y′＝2xln2(4)y′＝1xln2练习2：已知f(x)＝1nx，且f′(1)＝－13，求n.[点评]求函数在某点处的导数的步骤是先求导函数，再代入变量的值求导数．n=3例2假设某国家20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：其中p0为t＝0时的物价.假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？0()(15%)tptp=+()1(15%)1.05ttpt解'()1.05ln1.05tpt10'(10)1.05ln1.050.08(/)p元年答:在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度约0.08元/年.导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx例3日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%所需费用(单位：元)为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率.（1）90%；（2）98%.5284()(80100).100cxxx=-解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.5284'()()'100cxx5284()(80100).100cxxx=-20(100)5284(1)(100)xx25284(100)x25284(1)'(90)52.84(10090)c因为答:纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨25284(2)'(98)1321(10098)c因为答:纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨.练习3已知f(x)的导数f(x)=3x2-2x+4,且f(0)=2,求f(x).解:∵f(x)=3x2-2x+4,∴可设f(x)=x3-x2+4x+c∵f(0)=2,∴c=2.∴f(x)=x3-x2+4x+2小结2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题.1.会求常用函数的导数.其中:21,,,,ycyxyxyx公式1:.0()CC为常数公式2:.)()(1Qnnxxnn3.能够灵活运用导数公式及导数的运算法则解决导数问题.知识回顾KnowledgeReview祝您成功！