矩阵可对角化的判定条件及推广

矩阵可对角化的判定条件及推广数学与计算机科学学院数学与应用数学（S）学号：2011031103姓名：方守强指导教师：梁俊平摘要：矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化引言：矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。一、矩阵可对角化的概念1特征值、特征向量的概念定义1设A是数域P上线性空间V的一个线性变换,如果对于数域P中的一个数0存在一个非零向量使得0A,那么0称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值0的一个特征向量。求方阵A的特征值与特征向量的步骤：(1)由特征方程AE=0求得A的n个特征值，设t,,,21是A的互异特征值,其重数分别为tnnn,,,21则nnnnt21。(2)求解齐次线性方程组0XAEiti,,2,1,其基础解系siiippp,,,21(tinsii,,2,11，)就是A所对应特征值i的线性无关的特征向量。2矩阵可对角化的概念定义2设A是矩阵F上一个n阶方阵，如果存在数域F上的一个可逆矩阵P,使得APP1为对角形矩阵，那么就说矩阵A可以对角化。任意方阵A的每一个特征值i都有一个与之相对应的特征向量iP满足iiiPAPn,1,2,i，则这个方程可以写成nnPPPPPPA,,,,,,2121n21,（1）我们定义矩阵nPPPP,,,21,ndiagB,,,21则（1）式可写成PBAP,若矩阵P是可逆阵，则有ndiagBAPP,,,211引理1设A、B都是n阶矩阵,则有秩AB≥秩A+秩nB。引理2设s,,,21(ns)为n阶方阵A的所有互异特征值，则矩阵A的线性无关的特征向量的最大个数为IArIArIArsns21。证明设s,,,21(ns)为n阶方阵A的所有互异特征值，因为特征值is,1,2,i相应的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组0XIAi的基础解析所含向量的个数，所以特征值nss,,,21相应的线性无关的特征向量的最大个数分别为IArni，IArn2，…，IArns，而矩阵A的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性无关，从而,矩阵A线性无关的特征向的最大个数为IArIArIArsns21。引理3设A为n阶方阵,s,,,21是任意两两互异的数,则nsIArIArIArIAIAIArss1][2121。二、矩阵可对角化的充分必要条件1矩阵可对角化的充分必要条件及其证明定理1数域P上n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。证明（1）充分性假设nPPP,,,21是矩阵A的n个线性无关的特征向量，即有iiiPAPn,1,2,i,令矩阵nPPPP,,,21由特征向量nPPP,,,21组成，因为nPPP,,,21是线性无关的，因此矩阵P是非奇异矩阵，其逆矩阵记为1P，根据逆矩阵的定义有PP1=nPPPPPP12111,,,，另一方面，由iiiPAP易知,nAPAPAPAP,,,21=nnPPP,,,2211,给此式左乘矩阵1P，则有nIAPP1n21=n21，即充分性得证。（2）必要性令矩阵A和对角形矩阵D相似，即存在可逆矩阵P使得DAPP1,则有PDAP,于是记P=(nPPP,,,21)，TndddD,,,21则PDAP可以写成nAPAPAP,,,21=(nnPdPdPd,,,2211)即有iiiPdAPn,1,2,i,这说明矩阵P的列向量iP是矩阵A的特征向量，而已知P是可逆阵，故P的n个列向量nPPP,,,21线性无关，必要性得证。定理2设nnPA，则A可以对角化的充分必要条件是：(1)A的特征根都在数域P内,(2)对A的每个特征根,有，kAEn秩，其中k是的重数。条件(2)也可改述为：特征根的重数等于齐次线性方程组0XAE的基础解系所含向量的个数(简称为代数重数等于几何重数)。条件(2)还可改述为：令有nAnrii1-E秩，即属于A的不同特征根的线性无关的特征向量总数是n。条件(1)，(2)还可改述为:A的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n。证明设r,,,21是A的所有不同的特征根,jjtj,,1是齐次线性方程组0XAEjrj,,2,1的一个基础解系，则A的特征向量rrrtrtt,,,,,,,,111111一定线性无关。如果ntttr21,则A有n个线性无关的特征向量,从而A可以对角化。若A可以对角化,则属于A的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定是n。若不然,则由定理1可设A的n个线性无关的特征向量为n,,,21,设j是属于特征根j的特征向量，则j可由jtjj,,1线性表出，从而可由向量组rrrtrtt,,,,,,,,111111线性表出，于是，rank{n,,,21}rank{ttrtr,,,,,,11111}=ntttr21与n,,,21线性无关矛盾。定理3设A是n阶复矩阵,则A与对角形矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式m无重根。证明充分性因)(ndm无重根,由)(id|)(1id知,A的每个不变因子)(id都不能有重根，从而特征矩阵AE作为复数域上的矩阵,其初等因子全为一次式，故A必与对角阵相似。必要性因A与对角阵相似,特征矩阵AE的初等因子必均为一次式,故最后一个不变因子nd也只能是不同的一次因式之积，这就证明了最小多项式)(ndm无重根。此定理3所给出的判别矩阵与对角矩阵相似的条件,形式上还可削弱,我有:定理4设是n维向量空间V的一个线性变换，的矩阵可以对角化的充分必要条件是V可以分解为n个在之下不变的一维子空间n的直和。证明:必要性若可以对角化，则存在V的一组基n,,,21使得在这组基下的矩阵为n21，令nnLWLWLW,,,2211,则n21，事实上：（1）V，则nnkkk2211，又iiiWkn,1,2,i,n21，即n21。（2）niii1121,n,1,2,i，iW且nii1121，i且nii1121,njWjj,,2,1,，又jjWn,1,2,j，jjjWL，n,1,2,j,iinniiiiLLLLLL11112211,即iinniiiiiiLLLLLLL11112211又n,,,21线性无关jL=0,n,1,2,j,即=0。充分性:若V可分解为n个在之下不变的一维子空间n的直和,即n21,设n的基分别为n,,,21则n,,,21可构成V的一组基。令nnn,,,222111，在基n,,,21下的矩阵为n21，即可以对角化。定理5设A是数域F上的一个n阶矩阵，A的特征根全在F内，若n,,,21是A的全部不同的特征根，其重数分别为nrrr,,,21，则A可对角化的充要条件是秩jjiirAIk,1,2,j。证明:设A可对角化，则存在可逆矩阵T,使nnIIIdiagATT,,,22111这里右边是分块对角矩阵，iI为ir阶单位阵，于是有秩jiiAI=秩TAITjii1=秩jiiATTI1=秩jikkiIIIdiagI,,,,2211=秩jikkiiIIIdiag,,,22111=秩jijjiIdiag0,,0,,,0,0=jr。反之，若秩jiiAI=jr，k,1,2,j则反复用本文引理1可得：nkAIrijij2秩nkrnjii2=jjiirrn，于是有Iiji秩=irn。从而AIi=irnk,1,2,i，这样A可对角化。定理6设A为n阶方阵,则A可以对角化的充要条件为存在两两互异的s,,,21使得021IAIAIAs。证明必要性设n阶方阵A可以对角化,s,,,21(ns)为A的所有互异特征值,由引理2及定理1，从而A有n个线性无关的特征向量,即nIArIArIArsns21故0121nsIArIArIArs，再由引理3得][21IAIAIArs0，从而有021IAIAIAs。充分性设A为n阶方阵且存在两两互异的数s,,,21使得021IAIAIAs，记为Af=IAIAIAs21。设为A的特征值，则sf21必为Af的特征值，从而0Af。所以021sf,因此矩阵A的特征值的取值范围为s,,,21，显然当IAi可逆时，i不是A的特征值；当IAi可逆时，i是A的特征值。因为线性方程组0XIAi的基础解系所含向量的个数IArni即为A的特征值is,1,2,i的重数(当IAi可逆时,i不是A的特征值,此时0IArni)。从而矩阵A线性无关的特征向量的最大个数为IArIArIArsns21。再由引理3，当021IAIAIAs时nsIArIArIArs121