2020届宁波“十校”高三3月联考数学试卷含答案详解

宁波“十校”2020届高三3月联考数学试题卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。4．考试结束后，只需上交答题卷。参考公式：如果事件A，B互斥，那么柱体的体积公式P(A+B)=P(A)+P(B)VSh=如果事件A，B相互独立，那么其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高P(A·B)=P(A)·P(B)锥体的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n13VSh=次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高Pn(k)=Cknpk(1－p)n-k(k=0,1,2,…，n)球的表面积公式台体的体积公式S=4πR2V=11221()3hSSSS++球的体积公式其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，34=3VRh表示台体的高其中R表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{|11}Pxx=−，|02Qxx=，那么PQ=A．()1,2B．()0,1C．()1,0−D．()1,2−2．双曲线22194xy−=离心率是A．133B．53C．23D．593．若,xy满足约束条件0262xyxyxy−++，则3zxy=+的最小值是A．4−B．2−C．2D．44．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A．cm343B．cm23C．cm383D．cm435．函数=−fxaxb()2()2的图像如图所示，则A．ab0,01B．−ab0,10C．−ab0,10D．ab0,016．设aR，则“=−a2”是“关于x的方程++=xax102和++=xxa02有公共实数根”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．正方体−ABCDABCD1111，P是线段BD1（不含端点）上的点.记直线PC与直线AB所成角为，直线PC与平面ABC所成角为，二面角−−PBCA的平面角为，则A．B．C．D．8．已知随机变量的分布列如下（a201）：012P−baba则A．E()有最小值21B．E()有最大值23C．D()有最小值0D．D()有最大值219．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（）个A．576B．1296C．1632D．202010．数列an{}满足=a21，=−+++aaanNnnn1,12，则A．存在+kN，使−−akkk2221B．存在+mkN,，有=akamkC．存在+mkN,，有=amamkD．+++aaan11111222正视图2侧视图112俯视图第4题图1O1yx第5题图非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，单空题每小题4分，多空题每小题6分，共36分．11．欧拉公式xixeixsincos+=（i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，=ie2020▲.12．4(2)(1)xx++的展开式中项3x的系数为▲.13．在四边形ABCD中，1,2,3,4ABBCCDAD====，且120ABC=，则AC=▲，cosBCD=▲.14．已知直线:(1)(0)lykxk=+，椭圆22:143xyC+=，点()1,0F，若直线和椭圆有两个不同交点,AB，则ABF的周长是▲，ABF的重心纵坐标．．．的最大值是▲．15．函数()121fxxx=−−+的值域为▲；若函数()()gxfxa=−的两个不同零点12,xx，满足12210xx−，则实数a的取值范围是▲．16．已知双曲线221:1Cxy−=，曲线222:xyCxyyx+=−，则曲线12,CC的交点个数是▲个，原点O与曲线2C上的点之间的距离最小值是▲.17．设向量),(),,(2211yxbyxa==，记2121yyxxba−=.若圆042:22=+−+yxyxC上的任意三个点321AAA、、，且3221AAAA⊥，则||3221OAOAOAOA+的最大值是▲.三、解答题18．（本题满分14分）设函数()sincosfxxx=+，xR．（Ⅰ）已知0,2，函数()fx+是奇函数，则的值；（Ⅱ）若()22f=，求3f+.19．（本题满分15分）如图，三棱锥PABC−中，PAC是正三角形，ABC是直角三角形，点D是PB的中点，且APBCPB=，2PAPB=.（Ⅰ）求证：PBAC⊥;（Ⅱ）求AD与平面PAC所成角的正弦值.DABCP20．（本题满分15分）设等差数列an的前n项和为Sn，==aaS4,432.数列bn的前n项和为Tn，+=Tbnn1，nN.（Ⅰ）求数列an，bn的通项公式；（Ⅱ）记数偶为数奇为=bncannnn,,1，数列cn的前n项和为Wn，证明：+Wnn31.21．（本题满分15分）已知点Aaa(0,),0，抛物线=xpyp2(0)2上点B处的切线交x轴于点P，且直线AB交抛物线于另一点C，过点C作AP的平行线交x轴于点Q.（Ⅰ）证明：AQBP//；（Ⅱ）记直线BPCQ,与x轴围成的三角形面积为S1，BOC的面积为S2，是否存在实数，使=SS12？若存在，求实数的值，若不存在，请说明理由.22．（本题满分15分）已知函数=+−−fxxexx2(1)12)(，其中e2.71828为自然对数的底.（Ⅰ）试求函数fx()的单调区间；（Ⅱ）若函数++=+xxagxex212)(的定义域为R，且存在极小值b.①求实数a的取值范围；②证明：be2513.（参考数据：e1.641.65）数学参考答案一、选择题：二、填空题：11．112．1413．，−1472114．68,315．（−,2]，−2[5,]116．0，217．16三、解答题：18．解：（1）=+=+fxxxx4()sincos2sin(),……2分+=++fxx4()2sin()因为fx()为奇函数，所以+=4sin()0，+=k4，……4分，=440237……6分（2）=f22)(，，，+=+=+=4242422sin()sin()cos()213……9分+=++=+++f3432424()2sin[()]sin()cos()26……12分当+=42cos()3时，+=f3()2，当+=−42cos()3时，+=−f32()2……14分19．解：（1）证明：在APB和CPB中，===APBCPBPAPCPBPB,,,APBCPB,=ABBCABC为等腰直角三角形……3分取AC的中点O，连接OBOP,，则⊥⊥OPACOBAC,,面⊥ACPBO,面PBPBO,⊥PBAC……6分（2）角面二面⊥−−ACPBOBPOA,为直二面角，作于⊥DTOPT,则面平⊥DTPAC,连接TA，则DAT为AD和平面PAC所成的角。……8分设=PB2,则PAC的边长为4，==BABC22……10分，中====PBOPBOBOPDT22,23,112345678910BABCDCADBD宁波“十校”20203月高三联考==−=−SSOAxxapttOBCBC22||||2||11210……13分在存即==SS22,1112……15分22．解：（Ⅰ）求导得=−−=−+−−fxxexxexx()(1)，……2分由fx()0，解得x0，……4分又因为函数fx()的定义域为R，故函数fx()在区间−(,0)上单调递增，在区间+(0,)上单调递减.……5分（Ⅱ）①因为函数gx()的定义域为R，则++xxa202恒成立，故=−a440，即a1.……7分②又++++==++−+++−−+xxaxxagxexxaxexaexxxx(2)(2)()(2)2(1)(1)(2)2(1)222222，……9分则=gx()0等价于−=+−=−axexfxx22(1)2()2，由(Ⅰ)知，=yfx2()在−(,0)上递增，在+(0,)上递减,故函数gx()存在极小值，必有−=af22(0)2，即a14.……11分又−=−−=−−−eefafa1.642442(1)12,2()2359593，故对任意a(1,4)，存在−xx2(1,0),(0,)312使=gx()0，即−==afxii22(),1,2，因此，gx()在−+xx(,),(,)12上递增，在xx(,)12上递减，……13分所以，极小值+++++====++xxaxxfxxbgxeeexxx222()2(1)()11222222222222.记函数+=xhxxex2(1)2(),03，则+=xhxxex2(1)()02，即hx()在2(0,)3上递增，故hhxh2(0)()()3，即beee25513，所以，be2513.……15分宁波十校2020年3月联考高三数学试卷小题解析一、选择题1.已知集合u耳其其耳，u其其，那么uA.耳B.耳C.耳D.耳【解析】因为u耳其其耳，u其其，利用数轴可知：u其其耳即u耳故选择：B.2.双曲线u耳的离心率为A.耳B.C.D.【解析】由题知：u，u所以u，u又因为uu耳所以离心率为：uu耳故选择：A.3.若满足约束条件，则u的最小值是A.B.C.D.【解析】作出满足约束条件表示的可行域如图所示其中点设uu将直线tu进行平移，观察直线在y轴上的截距变化可得当经过点B时，目标函数达到最小值所以䁞uu故选择：B.4.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸单位：，可得这个几何体的体积是A.B.C.D.【解析】根据几何体的三视图，画出几何体的直观图，如图所示该几何体为四棱锥底面ABCD为边长为2cm的正方形，OE⊥CD，且E是CD的的中点所以该几何体的体积为：u耳u故选择：C.5.函数u的图像如图所示，则A.敬其其耳B.敬耳其其C.其耳其其D.其其其耳解析：如图可知：其其耳，即其其耳，则其其因为函数u为递增函数，所以其，又因为恒大于零，所以其，故A,B错误当u耳时，从图中可知：其其耳u耳u即u，即u，所以u又因为的取值范围是：其其耳所以的取值范围是：其其耳综上所述：其其其耳故选择：D.学习总结：通过观察函数图像的特点来判断的取值范围.考点：正态分布.6.设，则u是“关于的方程耳u和u有公共实数根”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：条件结论u耳u和u有公共实数根当u时，−耳