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拔高专题(二)平面直角坐标系中与图形结合的综合性问题教学目标1.通过利用点的坐标求与坐标轴平行的有关线段的长,体会转化的数学思想.2.掌握点的坐标变化与图形的面积之间的关系.教学过程一、基本模型构建常见模型图1图2思考已知:A(1x,1y),B(2x,2y),C(3x,3y),则图1中,32yy,BC=23xx,AD=21yy;图2中,32xx,BC=32yy,AD=21xx.S△ABC=S长方形CDEF-S△ABE-S△ACF-S△BCDA点在y轴上,面积等于21×BC×OA1的△ABC有两个.二、拔高探究探究点一:由图形中点的坐标求图形的面积例1.(2015•福清市期末)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(﹣1,0),(3,0),现同时将点A,B分别向上平移2个单位,再向右平移1个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD.(1)求点C,D的坐标;(2)若在y轴上存在点M,连接MA,MB,使S△MAB=S平行四边形ABDC,求出点M的坐标.(3)若P在线段BD之间时(不与B,D重合),求S△CDP+S△BOP的取值范围.解:(1)由平移可知:C(0,2),D(4,2);(2)∵AB=4,CO=2,∴S平行四边形ABOC=AB•CO=4×2=8,设M坐标为(0,m),∴21×4×|m|=8,解得m=±4,∴M点的坐标为(0,4)或(0,﹣4);(3)S梯形OCDB=21×(3+4)×2=7.当点P运动到点B时,S△BOC最小,S△BOC的最小值=21×3×2=3,S△CDP+S△BOP<4;当点P运动到点D时,S△BOC最大,S△BOC的最大值=21×4×2=4,S△CDP+S△BOP>3,所以3<S△CDP+S△BOP<4.【变式训练】1.如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(3,0).(1)如果在第二象限内有一点M(m,1),请用含m的式子表示四边形ABOM的面积;(2)在(2)条件下,当m=23时,在坐标轴的负半轴上是否存在点N,使得四边形ABOM的面积与△ABN的面积相等?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)过点M作MN丄y轴于点N.四边形AMOB面积=S△AMO+S△AOB=21MH•OA+21OA•OB=21×(﹣m)×2+21×2×3=﹣m+3;DxyOABCDCBAOyxDCxyOABFEA2xyOA1BC(2)当m=23时,四边形ABOM的面积=4.5.∴S△ABN=4.5,①当N在x轴负半轴上时,设N(x,0),则S△ABN=21AO•NB=21×2×(3﹣x)=4.5,解得x=﹣1.5;②当N在y轴负半轴上时,设N(0,y),则S△ABN=21BO•AN=21×3×(2﹣y)=4.5,解得y=﹣1.∴N(0,﹣1)或N(﹣1.5,0).【教师点拨】在平面直角坐标系中,无论是已知点的坐标求面积,还是已知面积求点的坐标,都可转化到基本模型中去解决.探究点二探究动点与图形的面积例2.已知:如图,在平面直角坐标系中,长方形ABCD的顶点坐标为A(﹣6,3)、B(﹣6,﹣3)、C(6,﹣3)、D(6,3).(1)设AD的中点为E,点M是y轴上的点,且△CME的面积是长方形ABCD面积的61,求点M的坐标;(2)若点P从C点出发向CB方向匀速移动(不超过点B),运动速度为2个单位∕秒,同时点Q从B点出发向BA方向匀速移动(不超过点A),运动速度为1个单位∕秒,设移动时间为t秒.①CP=,AQ=(用含t的式子表示).②在点P、Q移动过程中,四边形PBQD的面积是否发生变化?若不变,求其值;若变化,求其变化范围.解:(1)由题意得E点的坐标为(0,3),设M点坐标为(0,a),则21×|a﹣3|×6=61×12×6,解得:a=﹣1或a=7,M点坐标为(0,﹣1)或(0,7).(3)①由题意,得CP=2t,QB=t,∴CP=2t,AQ=6﹣t;②不变.理由:∵S四边形PBQD=S长方形ABCD-S△ADQ-S△PCD=12×6﹣21(6﹣t)×12﹣21×2t×6=36,∴四边形PBQD的面积不发生变化.【变式训练】2.如图,在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(3,0),C(0,2).(1)求△ABC的面积;(2)若点P从B点出发沿射线BA方向匀速移动,运动速度为1个单位∕秒,设移动时间为t秒,当t为何值时,△PAC的面积等于△BOC的面积.解:(1)∵A(-1,0),B(3,0),C(0,2),∴OA=1,OB=3,OC=2,∴S△ABC=21×AB×OC=21×4×2=4;(2)S△BOC=21×OB×OC=21×3×2=3;OP=t;当40t时,点P在线段AB上,PA=4-t,S△PAC=21×AP×OC=21×(4-t)×2=4-t,∵S△BOC=S△PAC,∴4-t=3,解得:t=1;当t=4时,P、A重合,三角形不存在;当t>4时,P在线段AB的延长线上,PA=t-4,S△PAC=21×AP×OC=21×(t-4)×2=t-4,∵S△BOC=S△PAC,∴t-4=3,解得:t=7;综上,当t=1或t=7时,△PAC的面积等于△BOC的面积.【教师点拨】在平面直角坐标系中,要把坐标转化为线段的长度,同样,求点的坐标也可以转化为求线段的长;同时PCxyOAB要注意分类讨论.
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