旋-转-磁-场-与-电-路

《数模探索》旋转磁场与电路2006年第一期(总第5期)75旋转磁场与电路芦迪华栋江郑刘德(浙江师范大学,浙江金华,321004)摘要研究旋转磁场中机械能和电能的转化关系，以及系统与电路的变化关系，给予的模型本质是要运用法拉第电磁感应定律以及机械能与电能的相互转化关系。此系统通过外界能量带动转子转动，使其产生旋转的磁场，使固定的线圈产生磁通量的变化，从而线圈产生感应电动势，当回路接通时就会在电路中产生感应电流，从而给外界供电，将能量提供给负载。从能量角度来说，电压，电流是对人类关系最密切的，我们暂称为内部因素，其他影响电压，电流的因素则为外部因素，当外部因素采取不同组合时就会有不同的电路状态，而有一种或几种是对我们最有利的，这种状态可以让我们更有效，更充分地利用外界能量。所以，我们有研究外界因素对电路影响的必要和价值。在这次建模中，我们根据题中提供的问题对一些主要因素进行了分析和讨论，并结合不同的物理量来分析系统与电路之间的变化关系；根据题设依据和模型假设的条件优化，构造出微分方程模型，再利用MATLAB软件，Mathematica模拟特定数据条件下讨论特殊的变化情况，从而给出一般情况下的研究方法。最后，我们讨论了主要外界参数lrabBLR、、、、、、、n对电路的影响，从而为实际的应用中得出最优化的设计组合提供了参考。关键字旋转磁场微分方程MATLAB软件电路文章号TS200603006一、模型重述（略）二、模型假设1.线圈在旋转磁场中，转子质量分布认为均匀。2.在计算转动惯量时，转子的槽可忽略，按圆柱计。3.不考虑空气带来的磁阻和其在转子转动时所产生的粘阻。4.外电路是纯电阻，线路的线阻不计。5.在能量转化的过程中，认为传输效率100%。6．不考虑磁体边缘效应，在有效范围内磁场严格均匀。7.不考虑轴承之间的摩擦损耗，近似认为绝对光滑，没有能量的损失。三、定义与符号说明：l：转子的长度；r：底面半径；a：线圈长度；b：线圈宽度；B：磁场强度；L：线圈自感强度；R，R′：电路电阻；n：转子转速；N：线圈匝数；ω：角速度；ρ：转子密度；i：电路电流的有效值；《数模探索》旋转磁场与电路2006年第一期(总第5期)76I：电路电流相量；U电路电压有效值；ε：电路感应电动势；ε：感应电动势相量；t；时间；P：功率；θ、β、ϕ：相量初相位；I：电流；U：电压；M：转子转动惯量；E：转子机械能；W：功；Q：电阻产生的热量；V：转子体积；τ：磁力矩；m：转子质量；说明：1.在下面需要赋值的情况下，除R值外，其他全部采用题中给定的初值。2.在题中给出是转速n，由于2nωπ=，在下面的过程中为了处理的方便我们在描述转子转动时都用ω，具体的换算不再进行。3.我们所建立的matlab图形的坐标系都是时间t为纵坐标，ω为横坐标。4.在下面的电路处理中为了分析处理的方便，我们在运用到电路方程中所选的相位基准都统一定为0ϕ=，其他的相位都是以这为基础。同时在下面的运算中212RRR==，为区分式子中的因素，我们都以1R、2R的形式给出。5.题中给出的初始值情况为：在实际计算过程中采用米千克秒单位制。转子初始转速n=1,线圈匝数N=3，磁感强度B=0.155，线圈自感L=0.0453，线圈长a=0.6，宽b=0.5，转子长l=0.5，底面半径r=0.2，转子密度ρ=8.67，电阻'RR=，其他值自选。备注：转子质量：2mrlπρ=则转子转动惯量为：2401122Mmrrlπρ==为了简便下面讨论和书写，下面涉及转动惯量的值都用0M表示，不再展开。四、模型的建立、求解及检验问题（1）：当转子转速恒定，外电路突然开路时，要求出线圈感生电动势的时间表达式，我们可以考虑线圈的自感作用以及运用法拉第电磁感应定理来求。模型一：不考虑空气带来的磁阻和其在转子转动时所产生的粘阻，以及在线圈和转子靠得足够近，即忽略磁体的边缘效应；但又可以保持系统的正常运行的情况下，同时认为圆柱体的槽很小，其磁场分布认为严格均匀。线圈和转子系统可以等效为：《数模探索》旋转磁场与电路2006年第一期(总第5期)77整个电路可以等效为：根据法拉第电磁感应定律：dNdtφε=dNBdsφ=⋅同时考虑线圈的自感作用，设开关断开的过程时间为't，因为从接通到断开，就是从开关处电阻为0在极短的时间内变为无穷大，所以，我们可以认为这个电阻的变化是成'teγ指数变化，所以电流也应该是e指数变化的，即'tcIeγ−+=显然，'0t=时，0II=。所以'0tIIeγ−=又't的取值与断开开关的快慢有关，一般可取0.3~0.5秒。∴在0'tt≤≤时间内，我们可知：线圈将感应出一个与线圈电源同向的电动势。'0tLdIedtγεγ−Φ==−0Lεεε=+'000sintNBStIeγωωγ−=+当'tt时，0Lε=。所以00sinNBStεωω=模型二问题（2）；初始转速为n，在t=0时突然接通外电路（A1、B1分别与A2、B2相接），且不再给转子输入能量，转子靠惯性运动。求出任何时刻转子的角速度，电路的电流；转子的角速度何时小于10–3？B《数模探索》旋转磁场与电路2006年第一期(总第5期)78在模型一下，忽略电路的线阻，认为外路的电阻为纯电阻。电路分析：在初始转速为n，在t=0时突然接通外电路而外界不提供输入能量；转子的转动使得线圈的磁通量发生了变化，使线圈产生了感应电动势，电阻产生焦耳热，消耗能量。由于线圈在作为一个电感的时候是不消耗能量的，所以，在前面模型的假设前提下，我们可以认为，转子损失的机械能与电阻消耗的能量相等。我们设E为转子的机械能，Q为电阻消耗的能量。则由能量守恒定律知：dEdQ=①且知转子的能量表达式：2012EMω=其微分表达式为：0dEMdωω=②电阻消耗能量的表达式：21QiRt=微分表达式为：2iRdt③由①②③得到：20iRdtMdωω=④且由电路方程：LRUUε=+已知：00sinNBStεωω=其向量形式为：0oNBSεω=∠LUjLIω=1RUIR=22110()()oNBSNBSIjLRLRωωθωω∠==∠−++⑤其中：1tanLRωθ=。从电流的表达式知，电流的变化曲线是一条正弦。结合⑤式子知：2212[()]NBSiLRωω=+⑥由④⑥结合其初始条件：t=0时，=2nωπ得到方程：222012221[2ln]MLRtcNBSRωω+=+其中：222012221[(2)2ln(2)]McnLRnNBSRππ=+用matlab数学软件处理得到ω的数学表达式：exp((-1/2*lambertw(L^2/R^2*exp(2*s^2*B^2*(t+1/2*(4*pi^2*n^2*L^2+log(4*pi^2*n^2)*R^2)/B^2/s^2/R)/R))*R+t*B^2*s^2+1/2*(4*pi^2*n^2*L^2+log(4*pi^2*n^2)*R^2)/R)/R)ω=在按照题中给出的初始数据，并取1R=，用matlab数学软件得到~tω的图形关系：《数模探索》旋转磁场与电路2006年第一期(总第5期)79从图中我们可以得到，随着时间的增加，转速ω逐渐降低。这与实际的情况是十分符合的。因为ω上面已经求得，所以结合式子⑤和~tω的图形，我们可以得到每一个时刻所对应的ω的值，对应的我们结合电流的计算公式可以得到每一个时刻的电流值以及其相位的信息。可以结合图形可以粗略的得出其v310ω−时刻的t值。222012221[2ln]MLRtcNBSRωω+=+其中：222012221[(2)2ln(2)]McnLRnNBSRππ=+计算可得到比较接近的t值：228.3515ts=模型三问题（3）；接通外电路，转子以转速n匀速转动时，需给转子输入多少功率？任何时刻，A1B1间的电压是多少？电路的电流是多少？磁力矩是多少？模型假设：在模型一，二的条件下，我们认为能量的转化为百分之百。系统分析：接通外电路时，要求使转子以转速n匀速转动。对于线圈的自感作用，我们在计算功率时可以不用考虑，因为电感是感性元件，所以在整个过程中它并不消耗能量。我们可以假设系统已经以一种匀速的稳定状态在运行。对于整个系统来说，外界将能量输入给转子，转子旋转磁场将能量传输给电路，电路中电阻消耗能量；题目中要求转子以转速n匀速转动，即其能量是保持不变的，所以我们可以等效地认为外界的输入能量提供给电阻消耗。在能量转化效率为1的假设前提下。外界的输入能量提供给电阻消耗能量相等。在前面的模型假设在这里仍然应用。21dWdQiRdt==211dWPiRdt==当接通外电路时我们可以得到电路方程：1LRUUε=+分别代入相应的式子得：110()oNBSjLIIRIjLRωωω∠=+=+也可解得电流的相量表达式：《数模探索》旋转磁场与电路2006年第一期(总第5期)8022110()()oNBSNBSIjLRLRωωθωω∠==∠−++⑦得到：2212[()]NBSiLRωω=+所以：211221()2[()]NBSRPLRωω=+由电路分析知：1A、1B之间的电压即为外电阻上的压降，可以得到：1111221()()ABNBSRUIRLRωθω==∠−+磁力矩定义公式：IsBτ=×rur由⑦式子知道：2221()()sin()NBStLRωτθωω=∠−+其方向为垂直于线圈平面法线nr和磁场Bur方向决定的平面。模型四问题（4）：在（3）的状况下，开断外电路一个电阻，系统的变化情况如何？给出转子的运动状态，给出A1，B1间的电压、电路的电流；系统能不能一直运行？系统状态如何演变？电阻上消耗的功率是多少？题目分析：在（3）的状况下，则我们知道，其外电路输入功率不变，前面假设的系统模型在这一题中仍然有效。转子状态分析：当开断外电路一个电阻的状态中，外电阻消耗的功率会发生变化，所以转子的转速也发生变化，一直到功率的输入和输出达到平衡转子才稳定下来，形成另一种稳定状态。我们在（3）状态下，输入与输出是平衡的，所以我们用211221()2[()]NBSRPPLRωω==+入来表示外界功率的输入，用222'PiR=来表示系统输出功率；其中2R表示断开一个电阻后电路的电阻。在电路刚断开电阻，即：0t=时刻，这时转速还没有发生变化，所以知道0'ωωω==即我们记初始的角速度为0ω《数模探索》旋转磁场与电路2006年第一期(总第5期)81我们可以计算得到输出功率式子222222()2[()]NBSRPLRωω=+下面我们比较1P、2P的大小222121222221()()2[()]2[()]NBSRNBSRPPLRLRωωωω−=−++⑧比较可知道：上式的大于0或小于0决定于电路中'RR=电阻值的取值情况。当02RLω时，⑧式子小于0。这时电路中电阻的消耗小于外功率的输入，所以有一部分能量传输给转子，转子的转速增大，电路的感应电动势增大，电阻的消耗增大，这种状态一直持续到输入与输出相平衡的时候，此后达到另一种稳定状态。在系统达到稳定状态之前，输入与输出的能量差全部传输给转子：21()PPdtdE−=⑨又201'2EMω=得到：2201202222201()(')()''2[(')]2[()]BSRBSRdtMdLRLRωωωωωω−=++用数学软件解方程可得到~tω的图形演示：当达到新的稳定状态的时候，输入功率与消耗功率一样。即：21PP=且212RRR==知2112ii=时系统达到新的稳定状态。与（7）式同理可得：《数模探索》旋转磁场与电路2006年第一期(总第5期)820'222222201'0()()'(')2[()]oBSBSBSIjLRLRLRωωωββωωω∠==∠−=∠−+++其中：2'tanLRωβ=结合上式可得：1102222201()2[()]ABBSRUIRLRωβω==∠−+当02RLω=时，21PP=，所以仍做原有匀速的转动状态。当02RLω时，21PP，这种状况我们仍可以用21PP这种状况来分析，只不过其传输给转子的是一个负能量。这种状况会消耗转子的机械能来满足消耗，于是转子的角速度ω下降，电路