4-5高三复习周-三角函数的性质

《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数y＝sinxy＝cosxy＝tanxy＝cotx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}{x|x≠kπ，k∈Z}图象《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数[－1,1][－1,1]y＝sinxy＝cosxy＝tanxy＝cotx值域y∈y∈y∈y∈最值无最大值和最小值无最大值和最小值RR《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数y＝sinxy＝cosxy＝tanxy＝cotx奇偶性对称性周期单调性单调减区间奇函数偶函数奇函数奇函数2π2πππ(kπ，kπ＋π)(k∈Z)《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数二、函数y＝Asin(wx＋φ)(A＞0，w＞0)的奇偶性与周期性1．函数y＝Asin(wx＋φ)(wx≠φ)为奇函数的充要条件为φ＝，k∈Z，为偶函数的充要条件为φ＝，k∈Z.函数y＝Acos(wx＋φ)(A，w≠0)为奇函数的充要条件为φ＝，k∈Z.为偶函数的充要条件为φ＝，k∈Z.函数y＝Atan(wx＋φ)(A，w≠0)为奇函数的充要条件为φ＝，k∈Z.它不可能是偶函数．kπkπ《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数2．y＝Asin(wx＋φ)的周期是；y＝Acos(wx＋φ)的周期是；y＝Atan(wx＋φ)的周期是；y＝Acot(wx＋φ)的周期是(其中w0)《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数1．下面四个命题中正确命题的序号是________．(1)正切函数在整个定义域内是增函数；(2)周期函数一定有最小正周期；(3)函数y＝3tanx2的图象关于y轴对称；(4)若x是第一象限角，则sinx是增函数，cosx是减函数．答案：(3)●易错知识《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数二、忽视定义域产生的混淆2．y＝2tanx21－tan2x2的最小正周期是________．答案：π《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数3．(2010·湖北八校联考)函数f(x)＝2|sinx|·sin(x－π4)sinx－cosx是()A．周期为π2的偶函数B．周期为π的非奇非偶函数C．周期为π的偶函数D．周期为π2的非奇非偶函数《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数答案：B解析：由sinx－cosx≠0得x≠kπ＋π4，k∈Z，因此，函数f(x)的定义域不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．注意到f(x)＝|sinx|(x≠kπ＋π4，k∈Z)，所以函数f(x)的周期为π，故选B.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数答案：(2kπ－π2，2kπ]k∈Z4．y＝log2cosx的递增区间是________________．三、忽视x的系数符号易出错5．函数y＝sin(π4－12x)的增区间为______________________________________________．答案：[4kπ－5π2，4kπ－π2]．k∈Z《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数解析：f(x)＝sin2x，T＝2π2＝π，f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，∴选C.●回归教材1．(2010·陕西，3)函数f(x)＝2sinxcosx是()A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数答案：C《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数2．比较下列两数的大小(1)sin125°________sin152°；(2)cos(－π5)________cos3π5；(3)cot(－3π5)________cot2π5.答案：＞＞＝《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数3．判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝x3＋sinxcosx；(2)y＝sinx.答案：(1)奇函数(2)非奇非偶函数《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数4．(教材改编题)函数y＝cosx的一个单调递增区间为()A．(－π2，π2)B．(0，π)C．(π2，3π2)D．(π，2π)解析：观察y＝cosx的图象经分析可知选D.答案：D《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数解析：根据函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx及y＝12sin2x的图象和性质可知应选C.5．(教材改编题)在下列函数中，同时满足①在(0，π2)上递减；②以2π为周期；③是奇函数的函数是()A．y＝tanxB．y＝cosxC．y＝－sinxD．y＝sinxcosx答案：C《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数【例1】求下列函数的定义域：(1)y＝lg(2sinx－1)；(2)y＝cosx＋16－x2.求使函数解析式有意义的x的范围，一般转化为利用单位圆、数轴、三角函数的图象解不等式或不等式组．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数分析：(1)只需2sinx－10，求x的取值范围；(2)需解cosx≥016－x2≥0的x的范围．解析：(1)要使原函数有意义，必须有2sinx－10，即sinx12.作出单位圆中的三角函数线，由图①知，原函数的定义域为(2kπ＋π6，2kπ＋5π6)(k∈Z)．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数(2)要使原函数有意义，必须有cosx≥016－x2≥0⇒cosx≥0－4≤x≤4.作出函数y＝cosx的图象，由图②知，原函数的定义域为[－π2，π2]．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数总结评述：(1)确定三角函数定义域的原则是：当函数是用解析式给出时，其定义域就是使解析式有意义的自变量的允许值的集合，当函数由实际问题给出时，其定义域由实际问题确定，当函数用图象给出时，其定义域是图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合．(2)确定三角函数的定义域的依据是：(Ⅰ)正余弦函数和正余切函数的定义域．(Ⅱ)若函数是分式函数，则分母不能为零．(Ⅲ)若函数是偶次根式，则被开方式非负．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数求下列函数的定义域：(1)y＝2＋log12x＋tanx；(2)y＝lg(2sinx－2)－1－2cosx.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数解析：(1)x应满足2＋log12x≥0x0tanx≥0x≠kπ＋π2(k∈Z)，即为0x≤4kπ≤xkπ＋π2(k∈Z)⇔0xπ2或π≤x≤4，∴所求定义域为(0，π2)∪[π，4]．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数(2)x应满足2sinx－201－2cosx≥0⇔sinx22cosx≤12，利用单位圆中的三角函数线，可得∴π3＋2kπ≤x＜3π4＋2kπ(k∈Z)，∴所求定义域为[2kπ＋π3，2kπ＋3π4)(k∈Z)．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数总结评述：对于(1)要注意根据0x≤4去适当选择整数k的取值．对于(2)运用三角函数图象也可以，但出现多种三角函数时，还是用单位圆中的三角函数线为宜.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数求三角函数周期的一般方法有：①公式法：将三角函数式化简为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的形式，周期T＝2π|ω|；化为y＝Atan(ωx＋φ)的形式，周期T＝π|ω|.②图象法：如果解析式中含有绝对值符号，可考虑利用图象判断求解．③定义法：对定义域中的每个自变量先由解析式观察，初步确定周期T，然后再利用定义f(x＋T)＝f(x)验证．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数【例2】(1)求函数f(x)＝cos(2x－π3)＋2sin(x－π4)sin(x＋π4)的最小正周期．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数解析：f(x)＝cos(2x－π3)＋2sin(x－π4)sin(x＋π4)＝12cos2x＋32sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)＝12cos2x＋32sin2x＋sin2x－cos2x＝12cos2x＋32sin2x－cos2x＝sin(2x－π6)．∴最小正周期为T＝2π2＝π.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数答案：B(2)f(x)＝|2sin2x2＋sinx－1|的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π解析：f(x)＝|1－cosx＋sinx－1|＝|sinx－cosx|＝|2sin(x－π4)|.借助图象，可知最小正周期为π.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数规律总结：1.y＝|sinx|的周期T＝π.y＝|sin(ωx＋φ)|的周期T＝π|ω|.2．y＝sin|x|不是周期函数．3．y＝|tanx|的周期仍为π.4．y＝cosx与y＝cos|x|的周期一样，为2π.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数(2010·湖北，2)函数f(x)＝3sin(x2－π4)，x∈R的最小正周期为()A.π2B．πC．2πD．4π解析：∵T＝2π12＝4π，故选D.答案：D《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数求下列函数的最小正周期．(1)y＝(asinx＋cosx)2(a∈R)；(2)y＝2cosxsin(x＋π3)－3sin2x＋sinxcosx；(3)y＝2|sin(4x－π3)|.解析：(1)∵y＝[a2＋1sin(x＋φ)]2＝(a2＋1)sin2(x＋φ)＝(a2＋1)·1－cos(2x＋2φ)2(φ为辅助角)．∴此函数的最小正周期为2π2＝π.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数(2)∵y＝2cosx(12sinx＋32cosx)－3sin2x＋sinxcosx＝sinxcosx＋3cos2x－3sin2x＋sinxcosx＝sin2x＋3cos2x＝2sin(2x＋π3)，∴该函数的最小正周期是T＝2π2＝π.(3)注意到y＝sin(4x－π3)的最小正周期T＝2π4＝π2，结合y＝2|sin(4x－π3)|的图象，知其最小正周期为12×π2＝π4.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数三角函数奇偶性的判断与代数函数奇偶性的判断步骤一致：(1)首先看定义域是否关于原点对称．(2)在满足(1)的前提下再看f(－x)与f(x)的关系．另外三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)首页上页下页末页第四章三角函数【例3】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝sin2x－tanx；(2)f(x)＝1＋sinx－cosx1＋sin