电磁场与电磁波-课后答案(冯恩信-著)

第一章矢量场1.1zyxCzyxBzyxAˆˆˆ3;ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2求:(a)A；(b)b；(c)AB；(d)BC；(e)()ABC(f)()ABC解：(a)14132222222zyxAAAA;(b))ˆ2ˆˆ(61ˆzyxBBb(c)7BA;(d)zyxCBˆ4ˆ7ˆ(e)zyxCBAˆ4ˆ2ˆ2)((f)19)(CBA1.2Az2;Bz32求:(a)A；(b)b；(c)AB；(d)BA;(e)BA解：(a)25A;(b))ˆ2ˆ3ˆ(141ˆzb;(c)43BA(d)zABˆ)6(ˆ3ˆ)23((e)zBAˆˆ)3(ˆ1.3Ar22;Br求:(a)A；(b)b；(c)AB；(d)BA;(e)AB解：(a)254A；(b))ˆˆ(11ˆ2rb；(c)22BA；(d)ˆ3ˆ2ˆ22rAB;(e)ˆ2ˆ3rBA1.4Axyz2;Bxyz3当AB时，求。解：当AB时，AB=0,由此得51.5将直角坐标系中的矢量场FxyzxFxyzy12(,,),(,,)分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。解：(1)圆柱坐标系由(1.2-7)式，sinˆcosˆˆ1xF;cosˆsinˆˆ2yF(2)圆球坐标系由(1.2-14)式,sinˆcoscosˆcossinˆˆ1rxFcosˆsincosˆsinsinˆˆ2ryF1.6将圆柱坐标系中的矢量场FzFz1223(,,),(,,)用直角坐标系中的坐标分量表示。解：由(1.2-9)式，)ˆˆ(2ˆsin2ˆcos2ˆ2221yyxxyxyxF)ˆˆ(3ˆcos3ˆsin3ˆ3222yxxyyxyxF1.7将圆球坐标系中的矢量场FrrFr125(,,),(,,)用直角坐标系中的坐标分量表示。解：由(1.2-15)式，)ˆˆˆ(5)ˆcosˆsinsinˆcos(sin52221zzyyxxzyxzyxF)ˆsinˆsincosˆcos(cos2zyxF22222ˆˆˆˆˆˆˆzyxzzyyxxyxyxxyr}ˆ)(ˆˆ{112222222zyxyyzxxzyxzyx1.8求以下函数的梯度：(a)f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6(b)fzz(,,)sin24(c)frr(,,)cos252解：(a)zxyxxzyfˆˆ10ˆ)105((b)zzfˆˆcos2ˆ(c)ˆsin5ˆsin2ˆcos2rrf1.9求标量场fxyzxyz(,,)22在点(1,1,1)沿)ˆˆ(21yxl方向的变化率。解：)(21ˆxylflf1.10在球坐标中，矢量场Fr()为Frkrr()2其中k为常数，证明矢量场Fr()对任意闭合曲线l的环量积分为零，即Fdll0解：由斯托克斯定理,slSdFldF因为0)ˆ(2rrkF所以Fdll01.11证明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。1.12由(1.4-3)式推导(1.4-4a)式。1.13由(1.5-2)式推导(1.5-3a)式。1.14计算下列矢量场的散度a)Fyzxzyyxzzb)Fzzsin2c)Frrr2cos解：(a)zxF(b)cos2zF(c)sinsincos42rF1.15计算下列矢量场的旋度a)Fxyxyzyz2b)F2sinc)Frrsin解：(a)zxxyFˆˆ2(b)zFsin(c))ˆˆsinˆcos2(1rrF1.16计算a),,rekrb)(),,()rkekrc),,()rz解：(a);ˆˆˆˆzz;ˆsinˆˆˆrrrrrrkrkrkrkrkerrkekreeˆ)((b);2)(1;3)(122rrrrrkrkrkrkrkrkerkekkeekekˆ)((c)ˆ)ˆ(;0;0zr1.17已知Ayxxy，计算AA()解：0)(;ˆ2AAzA1.18已知FxyzF()()(),,0计算F解：根据亥姆霍兹定理，因为0F，所以0AVVrdzdydxRzyxdVRrFr41''')'()'()'(41')'('41)(24ˆrrF1.19已知FFzxyz0,()()(),计算F解：根据亥姆霍兹定理，因为0F，所以0rzdzdydxRzzyxdVRFAVV4ˆ'''ˆ)'()'()'(41''4124ˆˆ)ˆ1ˆ1(41ˆ41rrzzrzrrzAF1.20求矢量场zzFˆˆˆ穿过由1001,,z确定的区域的封闭面的通量。解：根据高斯定理，矢量场zzFˆˆˆ穿过由lz0,0,1确定的区域的封闭面的通量SVdVFSdF因为31)(1zFFFFz所以VlVdVF2332第二章习题解2-1.已知真空中有四个点电荷qC11，qC22，qC34，qC48，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。解：设zrˆ,yrxryrxrˆ',ˆ',ˆ',ˆ'2321zyrrRzxrrRzyrrRzxrrRˆˆ';ˆˆ';ˆˆ';ˆˆ'4433221184ˆ15ˆ6ˆ3)ˆˆˆˆ(41024442333222221110zyxRRqRRqRRqRRqE2-2.已知线电荷密度为l的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P点的电场强度。(a)(b)(c)题2-2图解：(a)由对称性04321EEEEE(b)由对称性0321EEEE(c)两条半无限长线电荷产生的电场为yayxyxaEEEllaˆ2)}ˆˆ()ˆˆ{(40021半径为a的半圆环线电荷产生的电场为yaElbˆ20总电场为0baEEE2-3.真空中无限长的半径为a的半边圆筒上电荷密度为s，求轴线上的电场强度。解:在无限长的半边圆筒上取宽度为ad的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为adsl,对积分,可得真空中无限长的半径为a的半边圆筒在轴线上的电场强度为ydxyadraEsssˆ)ˆcosˆsin(22ˆ00000题2-3图题2-4图2-4.真空中无限长的宽度为a的平板上电荷密度为s，求空间任一点上的电场强度。解:在平板上'x处取宽度为'dx的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为'dxsl，在点),(yx处产生的电场为'ˆ21),(0dxyxEds其中22)'(yxx；22)'(ˆˆ)'(ˆyxxyyxxx对'x积分可得无限长的宽度为a的平板上的电荷在点),(yx处产生的电场为)}2/2/(2ˆ)2/()2/(lnˆ{4),(22220yaxarctgyaxarctgyyaxyaxxyxEs2-5.已知电荷分布为rarara220;;sbra;r为场点到坐标原点的距离，a，b为常数。求电场强度。解：由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为r的球面，利用高斯定理sqSdE0等式左边为rsErSdE24半径为r的球面内的电量为arbaaararq;554;542325因此，电场强度为arrbaaararEr;55;520232032-6.在圆柱坐标系中电荷分布为rarara;;0r为场点到z轴的距离，a为常数。求电场强度。解:由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为r,单位长度的圆柱面，利用高斯定理sqSdE0等式左边为rsErSdE2半径为r的圆柱面内的电量为araararq;32;3223因此，电场强度为arraararEr;3;302022-7.在直角坐标系中电荷分布为(,,);;xyzxaxa00求电场强度。解:由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为S的电通量为SEx2,方形封闭面内的电量为axaSaxxSq;2;200因此，电场强度为axaaxxEx;;0000题2-9图题2-7图2-8.在直角坐标系中电荷分布为(,,);;xyzxxaxa0求电场强度。解:由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为S的电通量为SEx2,方形封闭面内的电量为axSaaxSxq;;22因此，电场强度为axaaxxEx;20;202002axaxaxEx;20;202022-9.在电荷密度为（常数）半径为a的带电球中挖一个半径为b的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+ca)。求空腔中的电场强度。解:由电场的叠加性,空腔中某点的电场等于完全均匀填充电荷的大球在该点的电场与完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场之和。完全均匀填充电荷的大球在该点的电场为03REa完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场为03rEb所以，空腔中某点的电场为003)(3crREEEbac为从球心指向空腔中心的矢量。2-10.已知电场分布为Exbxbxbxxbxxb22222;//;/;/求电荷分布。解:由0/E得2/;02/;200bxbxbE2-11.已知在圆柱坐标中，电场分布为ECrrarbrarb;;,0求电荷分布。解:由0/E得00E在r=a,r=b的面上，电场不连续，有面电荷.电荷面密度为brbCara