高中数学：等差等比数列性质的比较与分析

等差数列与等比数列性质的比较等差数列性质等比数列性质1、定义n+1na-a=d(n1)；nn-1a-a=d(n2)n+1na=q(n1)a；nn-1a=q(n2)a2、通项公式1(1)naand()(,)nmaanmdnmNqaaqaamnmnnn113、前n项和dnnnnasaasnnn2)1(2)(11n1n1n1nq=1,S=na;a(1-q)q1,S=1-qa-aq=1-q4、中项a、A、b成等差数列A=a+b2；na是其前k项n-ka与后k项n+ka的等差中项，即：na=n-kn+ka+a2a、A、b成等比数列AbaA（不等价于2A=ab，只能）;na是其前k项n-ka与后k项n+ka的等比中项，即：2nn-kn+ka=aa5、下标和公式若m+n=p+q,则aaaaqpnm特别地,若m+n=2p,则aaapnm2若m+n=p+q,则aaaaqpnm特别地,若m+n=2p,则aaapnm26、首尾项性质等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾两项的和,即：aaaaaaknknn)1(121等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积,即：aaaaaaknknn)1(1217、结论{an}为等差数列,若m,n,p成等差数列,则aaapnm,,成等差数列{an}为等比数列,若m,n,p成等差数列,则aaapnm,,成等比数列（两个等差数列的和仍是等差数列）等差数列{an},{bn}的公差分别为ed,,则数列{bann}仍为等差数列，公差为ed（两个等比数列的积仍是等比数列）等比数列{an},{bn}的公比分别为qp,,则数列{bann}仍为等比数列，公差为pq取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为d2取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等比数列，且公比为q2若mna=n,a=m(mn),则0mna无此性质；若mnS=n,S=m(mn),则)mnSmn（无此性质；若0),(sssmmnmnm则无此性质；,,,232sssssmmmmm成等差数列，公差为dm2,,,232sssssmmmmm成等差数列，公比为qm等差数列与等比数列性质的比较当项数为偶数n2时，ndss奇偶aassnn1偶奇当项数为奇数12n时，ass中偶奇asnn中)12(121nnss偶奇当项数为偶数n2时，qss奇偶当项数为奇数12n时，sasq偶奇18、等差(等比)数列的判断方法①定义法：12nnaadn②等差中项概念；1122nnnaaan③函数法：(,为常数)napnqpq关于n的一次函数数列{}na是首项为p+q，公差为p0的等差数列；④数列}a{n的前n项和形如2nSanbn(a，b为常数)，那么数列}a{n是等差数列，①定义法：1nnaqa②等差中项概念；221(0)nnnnaaaa③函数法：nnacq(cq，均为不为0的常数，nN)，则数列na是等比数列．④数列}a{n的前n项和形如nnSAqA(Aq，均为不等于0的常数且q≠1)，则数列na是公比不为1的等比数列．9、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列等差数列与等比数列性质的比较等差练习1、已知}a{n是等差数列，且21512841aaaaa，求133aa=_________________________。2、已知在等差数列}a{n中，若80a49，100a59，求79a=______________________________3、在等差数列}a{n中，若450aaaaa76543，则82aa=。4、若a，x，y，b，z成等差数列，试用a，b表示下列各项：x=_______，y=______，z=______.5、在等差数列}a{n中，（1）若ma7，na14，则21a=_________；（2）若1aaa531，则521aaa=________；（3）若836aaa，则9S=________；（4）若20a11，则21S=________；（5）若20aaaa131074，则16S________。6、在等差数列}a{n中，前n项和为nS，若1S3，5aaa987，则99S=________。7、等差数列}a{n前n项的和为nS，且3S3，7S6，则9S的值是。8、等差数列}a{n前n项的和为nS，且8S7，7S8，则15S的值是。9、在等差数列}a{n中，0a1，nS为前n项和，且163SS，则nS取得最小值时n的值为。10、在等差数列}a{n中，)nm(lSSnm，则nm1aa=A．mnlB．l)nm(C．0D．l)1nm(11、（1）设等差数列共有10项，其中奇数项之和为12.5，偶数项之和为15，则其首项1a=_______，公差d=________；（2）在项数为)Nn(1n2的等差数列中，它的奇数项之和与偶数项之和的比=_____________________。12、等差数列}a{n的公差为1，102aaaa99321，试求9963aaa的值。等差数列与等比数列性质的比较13、已知}a{n是等差数列，前m项和为mS=30，前2m项和为mS2=100，求前3m项和mS3。14、已知等差数列}a{n的前n项和为nS，若1Sm，4Sm3，试求m6S的值。15、正数等比数列{}na中64a，则2122211logloglogaaa=__________________16、等差数列{}na中，（1）paq，qap（pq），那么pqa_______________________；（2）)(nmssnm，那么nms___________________。（3）)(,nmmsnsnm，那么nms______________________（4）、mnSpSqmn，那么nms_____________________等比练习1.等比数列{}na中，1990,,naaa为方程210160xx的两根，则205080aaa的值为（）.32A.64B.256C.64D2．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝（）A．8B．－8C．83.等比数列na的各项均为正数，且5647aaaa＝18，则3132310logloglogaaa＝()A．12B．10C．8D．2＋3log55．等比数列an的前n项和为SSSSn，3692，则公比q=______________6．等比数列{na}的公比0q,已知2a=1，216nnnaaa，则{na}的前4项和4S=7.等比数列na的前n项和nS=22aan，则na=_______.8.等比数列na的前n项和为nS，若242SS则公比为（）A.1B.1或－1C.21或21D.2或－29.已知等比数列{an}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为A．15B．17C．19D．2110.设{}na是公比为正数的等比数列，若354,16aa，则数列{}na的前5项和为A．15B．31C．32D．4111.已知na是首项为1的等比数列，ns是na的前n项和，且369ss，则数列1na的前5项和为（A）158或5（B）3116或5（C）3116（D）158