第17章-勾股定理的复习课教案

《第17章勾股定理的复习（1）》教学设计福清龙江中学林华泉2016年3月16日学习目标：知识与技能：掌握勾股定理以及变式的简单应用，理解定理的一般探究方法。过程与方法：让学生经历观察、思考、动手实践和求解的活动过程；培养学生独立思考能力和动手实践能力。发展同学们数与形结合的数学思想。情感态度与价值观：在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流良好学习的习惯。使学生认识到数学来自生活，并服务于生活，从而增强学生学数学、用数学的意识,体会勾股定理的文化价值。教学重点与难点：应用勾股定理及逆定理解决实际问题是本节课的教学重点;而把实际问题化归成勾股定理的几何模型（直角三角形）则是本节课的教学难点.教学过程一、复习引入1、请一位同学说说勾股定理的内容是什么？（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.）2、RtΔABC中，∠C＝90°时AC2+BC2＝AB2，有哪些不同的表示形式？今天我们来看看这个定理的应用。3、学生进行练习：在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠B=90゜.①已知a=3，b=4，求c；②已知a=12，c=5，求b（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a2+b2＝c2，要根据本质来看问题）4、勾股定理只能在直角三角形中运用【例1】在△ABC中，AC=3，BC=4，则AB的长为（）.A.5B.10C.4D.大于1且小于7只能用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断出AB的范围.正确答案：D.5、运用勾股定理时要分清斜边和直角边【例2】已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为.6、给定三角形要分形状运用勾股定理【例3】在△ABC中，AB=15，AC=20，AD是BC边上的高，AD=12，试求出BC边的长.【分析与解】此题没有给出图示，又由于三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形外部，所以其高的位置应分两种情况来求.如下图所示，△ABC有两种情况.综上可得BC边的长为25或7.配套练习：等腰三角形的一个内角为30°，腰长为4，求这个等腰三角形腰上的高及这个等腰三角形的面积.解：⑴等腰三角形ABC顶角为30°时；⑵等腰三角形ABC底角为30°时；(高在形内)(高在形外)；接着通过问题“试一试”进一步直观体会勾股定理与实际问题之间的关系.引导学生讨论“应用勾股定理解决实际问题的一般思路是什么？”7、折叠问题与方程思想：【例4】如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且C点与E重合，求CD的长．解：如图，在RT△ABC中∠C＝o90，由勾股定理得10862222BCACAB(cm)由折叠可知CD=DE，AE=AC=6cm且∠DEB＝o90，故可设CD=DE＝xcm,则BE=10－6＝4(cm)DB=(8-x)cm在RT△ABC中∠C＝o90，由勾股定理得222DBBEDE,即222)8(4xx解得：x=3.所以CD＝3cm配套练习：如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？这个环节主要是从由简单的实际问题（平面上）激发学生的探求欲望，通过探求过程，学会分析问题中隐藏的几何模型（直角三角形），体会勾股定理在生活中无处不在。激发和点燃学生学习的兴趣。为后续学习起到了引领作用。二、直角三角形的识别（勾股定理逆定理的复习）出示练习（学生独立完成）1、下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A、a=1.5，b=2,c=3B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10D、a=3,b=4,c=52、若△ABC中,∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c,下列叙述不正确的是（）A.如果∠C-∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B.如果C2=b2-a2,那么△ABC是直角三角形，且∠C=90OC.如果（c+a）(c-a)=b2,那么△ABC是直角三角形D.如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形三、知识的应用迁移训练，学以致用【例5】已知：如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°（１）求ＢＤ的长；（２）试求△ＢＣＤ的面积；【例6】李老师设计了这样一道探究题：如图1（1），有一个圆柱，它高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的取值为3）．【思考与分析】这是一道蚂蚁怎么走最近的问题，同学们可以这样思考：（1）自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短？（2）如图1（2）所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A到B的最短路线是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A点，想吃到B点上的食物，它需要爬行的最短路线是多少？由A到B，有无数条路线，如果将圆柱侧面从A点（蚂蚁爬行路径的起始点）垂直向上剪开，则剪开的侧面展开图的形状是长方形.最短路线是线段AB，因为两点之间线段最短.这个最短距离就是AB的长.解：圆柱的底面周长为2πr＝2×3×3＝18，展开图中CB的长是底面周长的一半，为×18＝9，圆柱的高为12，即AC＝12，在Rt△ABC中，根据勾股定理有：AB2＝AC2＋BC2＝92＋122，所以AB=15厘米．变式训练如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为（）【分析与解】求几何体表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面”，再寻找解题的途径.如上右图，可得展开图中的AB′的长为4π÷2＝2π，B′S′的长为4÷2＝2.在Rt△AB′S′中，根据勾股定理，得AS′=..故选A.(备用)课后练习：在长30cm、宽50cm、高40cm的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？【反思】这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从A点开始并垂直于A点剪开，这样展开的侧面才是个矩形，得到直角，才能用勾股定理解决问题．本题的设计与应用不止如此，我们在弄清此题的基础上，就可以进一步地引导学生进行变式训练，进一步地演变成如下的问题．本环节的设计意图是通过对两个实际问题的分析讨论,让学生理解用勾股定理解决实际问题的方法,体现化归的数学思想。在这个环节中,我共设计了三个问题.第一个问题是通过直接运用勾股定理计算确定这个安全区域的半径来加深学生对勾股定理应用方法的理解;第二个问题是让学生先从实际问题中划归出直角三角形的模型,再由学生自己给出解答过程。既考查了学生对本节课学习内容的理解，同时也为解决第三个问题作出了准备;第三个问题的目的是要学生能理解求立体图形上两点间最短路径的方法。这个环节的设计意图让学生尝试在曲面上寻找最短路线，把圆柱侧面展开从而转化成平面上的路线问题，利用勾股定理解决问题，培养学生的空间概念和把未知问题转化为已知问题来解决的化归思想。通过这两个变式训练，加深学生对勾股定理和转化思想的理解与运用，并通过变式2引入了分类讨论思想，培养了学生的动手操作能力。四．总结反思拓展升华首先鼓励学生畅所欲言的总结本节课的收获与体会；然后帮助学生自主建构知识体系；接着布置本节课的课内与课外作业。