【电动力学课件】4-3-有导体存在时电磁波的传播

2014/12/41在真空和理想绝缘介质内部，没有能量损耗，电磁波可以无衰减地传播。导体内有自由电子，在电磁波电场作用下，自由电子运动形成传导电流，产生焦耳热，使电磁波能量不断消耗。因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波。在传播过程中，电磁能量转化为热能。§4.3有导体存在时电磁波的传播导体内电磁波的传播过程是交变电磁场与自由电子运动互相制约的过程，这种相互作用决定导体内电磁波的存在形式。所以，先研究导体内自由电荷分布的特点，然后在有传导电流分布的情形下解麦克斯韦方程组，分析导体内的电磁波以及在导体表面上电磁波的反射和折射问题。2014/12/42在静电情形下，导体内部不带电，自由电荷只能分布于导体表面上。在迅变场中情况如何？一、导体内的自由电荷分布ρε=⋅∇E设导体内部某区域内有自由电荷分布，其密度为ρ。这电荷分布激发电场为E，则在电场E作用下，导体内引起传导电流J。由欧姆定律：EJσ=得到ρεσ=⋅∇J2014/12/43ρ出现时，就有电流从该处向外流出。从物理上看这是很明显的。因为假如某区域内有电荷积聚的话，电荷之间相互排斥，必然引起向外发散的电流。由于电荷外流，每一体元内的电荷密度减小。由电荷守恒定律得到：0=+∂∂ρεσρt解此方程得：tetεσρρ−=0)(ρεσ=⋅∇J说明，当导体内某处有电荷密度2014/12/44式中ρ0为t=0时的电荷密度。由上式，电荷密度随时间指数衰减，衰减的特征时间τ为σετ=因此，只要电磁波的频率满足ωτ-1=σ/ε,或1εωσ就可以认为ρ(t)＝0。上式可以看作良导体条件。也就是说，良导体内部没有自由电荷分布，电荷只能分布于导体表面上。2014/12/45注意：某种介质能否看作良导体，不仅与介质的导电性有关，还与电磁波的频率有关。对于一般金属导体，τ的数量级为10-17s，都可以看作良导体。二、导体内的电磁波1.导体内麦氏方程组导体内部ρ=0，J=σE，麦氏方程组为：=⋅∇=⋅∇+∂∂=×∇∂∂−=×∇00BDEDHBEσtt2014/12/46对一定频率ω的电磁波，D＝εE，B＝µH，则有=⋅∇=⋅∇+−=×∇=×∇00HEEEHHEσωεωµii式中场量是抽去时间因子以后的函数，只与坐标有关。2014/12/472.复电容率将导体内部的麦克斯韦方程组与绝缘介质中的麦克斯韦方程组比较可知，其差别仅在于第二个方程中多了一项σE。EHωεi−=×∇EEHσωε+−=×∇i导体中：传导电流位移电流如果将导体中的方程写成：EHεω′−=×∇i这只需令ωσεεi+=′即可。绝缘介质中：2014/12/48=⋅∇=⋅∇−=×∇=×∇00HEEHHEωεωµii=⋅∇=⋅∇′−=×∇=×∇00HEEHHEεωωµii通过比较我们发现，这样改写以后，方程组的解法完全相同，只要将绝缘介质情形的解当中的ε用ε’代替即可。式中ε’称为复电容率。物理意义：复电容率的实部代表位移电流的贡献，它不引起电磁波功率的耗散；虚部代表传导电流的贡献，它引起能量耗散，使电磁能转化为热能。2014/12/492.导体内的平面波（复波矢量及其物理意义）将ε用ε’代替后，导体内的麦克斯韦方程组与绝缘介质中的麦克斯韦方程组形式相同，得到的亥姆霍兹方程也相同。即导体内部满足：022=+∇EEkεµω′=k0=⋅∇E解出E后，磁场H可由麦氏方程求得。2014/12/410亥姆霍兹方程形式上也有平面波解xkExE⋅=ie0)(()()tietω−⋅=xkExE0,与绝缘介质中不同的是，这里k为复数，因而k为复矢量，称为复波矢量，其分量为复数。),,(321kkk=k),,(332211iαβiαβiαβ+++=αβi+=2014/12/411所以导体中电磁波的表示式为)(0),(tieetω−⋅⋅−=xβxαExEk的实部β描述波的传播的相位关系，虚部α描述波幅的衰减，α称为衰减常数，β称为相位常数。由定义得：+=⋅+−=ωσεµωαβiik22222βα比较式中的实部和虚部得µεωαβ222=−再联立边值关系，即可求出导体中的α和β。ωµσ21=⋅βα2014/12/412例如：当频率为ω的电磁波从真空入射到导体表面时，真空中的波矢k(0)为已知，求导体内的波矢k。取入射面为xz面，z轴为指向导体内部的法线。00)0(εµωαβ=+==xxxxikk由边值关系式有注意：矢量α和β的方向可能不相同。0)0(=+==yyyyikkαβ空间中波矢k(0)为实数，αx=αy=βy=0，βx=kx，即矢量α垂直于金属表面，但矢量β则有x分量。2014/12/413将αx=0，βx=kx，αy=0，βy=0代入ωµσµεωαβ21222=⋅=−βα解出αz和βz，因而确定矢量α和β。（作业）由于有衰减因子，电磁波只能透入导体表面薄层内。因此，有导体存在时的电磁波传播问题一般是作为边值问题考虑的。三、趋肤效应和穿透深度2014/12/414电磁波主要是在导体以外的空间或介质中传播，在导体表面上，电磁波与导体中的自由电荷相互作用，引起导体表层上的电流，这电流的存在使电磁波向空间反射。一部分电磁能量透入导体内，形成导体表面薄层内的电磁波，最后通过传导电流把这部分能量耗散为焦耳热。为简单起见，我们只考虑垂直入射情形。设导体表面为xy平面，z轴指向导体内部。)(0tβziαzeeω−−=EE在这情形下，αx=βx=αy=βy=0，α和β都沿z轴方向2014/12/415解得：212222122211211121−+=++=ωεσµεωαωεσµεωβ==−ωµσµεωαβ21222αβ由2014/12/416k2的虚部与实部之比为σ／εω，在良导体情形此值1，因而k2的实部可以忽略ωµσik≈2αβωµσωµσπieiki+==≈4/2ωµσβα≈≈+=⋅+−=ωσεµωαβiik22222βα对于良导体情形，这些公式还可以简化。2014/12/417ωµσαδ21==可见穿透深度不仅与电导率有关，还与频率有关。例如对铜来说，σ~5×107S·m-1，当频率为50Hz时，δ~0.9cm；当频率为100MHz时，δ~0.7×10-3cm．由此可见，对于高频电磁波，电磁场以及和它相作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。αzeEE−=0波幅降至原值1/e的传播距离称为穿透深度，用δ表示。2014/12/418由()EnEkH×+=×=αβωµωµi11EnH×≈4πωµσie磁场相位比电场相位滞后45°。而且由于1=ωεσεµEHn为指向导体内部的法线。对于良导体，有HEωµi=×∇可以得到：金属内部磁场远比电场重要，金属内电磁波的能量主要是磁场能量。2014/12/419和绝缘介质情形一样，反射问题应从边值关系入手。在一般入射角下，由于导体内电磁波的特点使计算比较复杂。垂直入射情形计算较为简单，而且已经可以显示出导体反射的特点。因此这里只讨论垂直入射情形。四、导体表面上的反射设电磁波由真空入射于导体表面，在界面上产生反射波和透入导体内的折射波。垂直入射情形，电磁场边值关系为：HHHEEE′′=′−′′=′+，2014/12/420()EiEE′′+=′−120ωεσ按良导体计算，取μ=μ0，则与第一式联立，得所以，边值关系第二式变为：，EH00µε=，EH′=′00µε)1(20iEH+′′=′′ωµσσωεσωε002121++−+−=′iiEE2014/12/421σωε−≈+σωε++σωε−−=′=020202221121121EER反射系数(反射能流与入射能流之比）：由此可见，导体的导电性越好，反射系数越高。理想导体的反射系数为1，即理想导体内部没有电磁波，这就是理想导体对电磁波的屏蔽作用。所以，理想导体表面是电磁场的边界。2014/12/422例1证明在良导体内，非垂直入射情形有zxzzββωµσβα≈≈,22014/12/423设空间中入射波矢为k(0)，由边值关系得)0(xxxk,0=β=α良导体内波数平方为βα⋅+α−β=ωµσ≈i2ik222解2014/12/424因而022≈α−β2xzzββα()200002zzk212121ωεσεµω=ωµσ=βα=⋅βα2014/12/425略去βx2得zxzzββωµσβα≈≈,2在任意入射角情形下，α垂直于表面,β亦接近法线方向．穿透深度δ仍为ωµσαδ21==2014/12/426由于趋肤效应，高频下仅在导体表面薄层内有电流通过。取z轴沿指向导体内部的法线方向。导体内体电流密度为()()()tizizeyttωβασσ−+−==,,,0xExExJ解：单位横截线的电流zf∫∞=0dJαzeziz-f∫∞+=00dβασEα，E0为表面上的电场值。αβφ=tg其中φβασβασiei2200+=−=EE例2计算高频下良导体的表面电阻。2014/12/427导体内平均损耗功率密度为()zeEασ220*21Re21−=⋅EJ这一电流虽然是积分到无穷远，但实际上只分布于表面附近厚度约为α-1的薄层内。所以通常把它电流看作面电流。式中E0为表面上的电场强度。导体表面单位面积平均损耗功率为ασσα4d21200220EzeEPzL==∫∞−20f224αασβ+α=αf0为面电流密度的峰值．2014/12/42820fL21Pασδ=导体在高频下的电阻相当于厚度为δ的薄层的直流电阻把α≈β≈1/δ代入得