第二十届华杯赛初赛初二详解

咨询电话：400-6566-196学理科到学而思第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛A试卷（初二组）（时间:2015年3月14日10:00—11:00）一、选择题(每小题10分,共60分..)1.已知在三角形ABC中,34ABBC,BE是ABC的角平分线,且E在AC上.过C作BE的垂线,垂足为D.如果BCD的面积为3,则三角形ABC的面积为（）.（A）94（B）16（C）4（D）8【解析】D．此题为公开题．延长CD与AB交于点F，则FBDCBD，BDBD，90FDBCDB，故FDB≌CDB（ASA）．于是34BFBCAB，26BFCBCDSS，而34BFAB，可得34BFCABCSS，所以8ABCS．2.已知实数a,b,c满足1{}{}{}3abbcca,其中{}x定义为[]xx,[x]表示不大于x的最大整数,那么{}abc有（）种可能的取值.（A）1（B）2（C）3（D）4【解析】B．13ababbcbccaca，三式相加得21abcabbcca，需2abc为整数，于是{}abc为0或12．举例说明它们是可以取到的，16abc时1{}2abc；23abc时{}0abc．咨询电话：400-6566-196学理科到学而思3.如果在等腰三角形ABC中,(3,0)A,(0,1)B,点C在坐标轴上,那么满足条件的点C有（）个．（A）5（B）6（C）7（D）8【解析】B．如图4.用一批相同的机器计划加工一种工件.实际工作时,上午每台机器加工的工件数比计划要加工的数目多5件,下午每台机器加工的工件数为13件.这样8台机器上午加工的工件数目超过了164件,而且5台机器一天加工的工件数目比8台机器在上午加工的工件数多.那么一台机器原计划上午加工工件（）个.（A）18（B）17（C）16（D）15【解析】C．设一台机器原计划上午加工工件x个，则8(5)1645(513)8(5)xxx，得到315023x，又x为整数，故16x．5.设a,b,c,d,e为非负实数,且1abcde,记abc,bcd,cde的最大值为M,则M的最小值是（）.（A）0（B）41（C）21（D）43【解析】C．211Mabccdec，12M，接下来看12M能否取到，可咨询电话：400-6566-196学理科到学而思以选取14abde，0c，此时12abcbcdcde．6.一个网格,小网格都是单位正方形.小明拟以格点为顶点尝试连接出正三角形,正方形,正六边形和正八边形.实际上,小明只能连接出其中（）种类型.（A）1（B）2（C）3（D）4【解析】A．正方形易得，若可以连出正六边形一定可以得到正三角形，先来看正三角形是否可以．如果正三角形两个顶点A、B横坐标之差为a，纵坐标之差为b，则要使得22ACABab，有三种情况：①A、C横坐标之差为a，纵坐标之差为b，此时BC与坐标轴平行，于是22ab为整数，且BC上的高2232ab也是整数，矛盾；②A、C纵坐标之差为a，横坐标之差为b，此时A为90°，不符合题意；③22ab时，可以有AC平行于坐标轴，实际上跟情况①相同，三种情况均不符合题意，故连结格点得不到正三角形．二、填空题(每小题10分,共40分)7.在右图中,分别以正方形ABCD的顶点B和C为圆心,BC为半径作圆,在正方形区域内交于E点.如果图中阴影AED部分的面积是43614,则正方形ABCD的边长等于.咨询电话：400-6566-196学理科到学而思【解析】2．连结BE、EC，则BCE为等边三角形，30ABEDCE，设正方形边长为x，则234BCESx，2112BAECDESSx扇形扇形，故222312412Sxxx阴影2331414646x，解得2x．8.某同学用纸剪凸四边形,凸五边形,凸六边形.每种至少剪一个,剪出的多边形共有95条边,那么所剪的多边形中的内角是直角的个数最多是个.(提示:凸多边形的内角均小于180度).【解析】90个．凸多边形外角和为360°，凸四边形最多有4个内角为直角，凸五边形、凸六边形最多有3个内角为直角，先除去每种1个，即15条边、最多10个直角，余下80条边均为凸四边形时直角最多，且必须为矩形．因此直角最多有90个．9.如右图所示,五边形由大、小两个正方形和一个直角三角形拼成.已知五边形的各边长都是整数厘米,两个正方形面积之差等于33平方厘米,则这个五边形的周长等于厘米.【解析】34．设大、小正方形边长分别为x厘米、y厘米，x、y均是整数，2233xy，故有133xyxy或311xyxy，又设BCa厘米，222()ayxy，只有3xy，4y，5a，也有7x．五边形周长为3234xya厘米．10.若a,b,c取自1到9之间的数字,a,bc,cb是三个质数,)(aS,)(bcS,)(cbS分别表示它们的各位数字之和.如果)()()(cbbcaScbSbcS,那么cbbca.【解析】2015.a为2，3，5，7；bc、cb有5组取值：（11，11），（13，31），（17，71），（37，73），（79，97）．枚举可得，只有5a，bc、cb为13、31时满足，此时2015abccb．