理论力学--第六章--刚体的简单运动

第六章刚体的简单运动§6-１刚体的平行移动刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始位置，这种运动称为平行移动，简称平移。1、定义3、速度和加速度分布ddddBABArrvvttddddBABAvvaatt刚体平移→点的运动2、运动方程ABBArrrABd0drt因为所以4、在任一瞬时各点的速度矢量,加速度矢量二、刚体平动的特征平动刚体的运动可以简化为1、其上任一直线2、任一点的轨迹3、平动时各点轨迹形状始终平行于它的初始位置；可能是直线也可是曲线；相同，都相同。一个点的运动。且彼此平行；荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长l，度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为，其中t为时间，单位为s；转角φ0的单位为rad，试求当t=0和t=2s时，荡木的中点M的速度和加速度。t4πsin0OABO1O2ll（+）例题6-1MMA点的运动方程为将上式对时间求导，得A点的速度tltsv4πcos4πdd0解：AOBO1O2φll（+）0πsin4slt再求一次导，得A点的切向加速度A点的法向加速度2t0dππsind164valtt2222n0ππcos164valtlM代入t=0和t=2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：OABO1O2φll（+）00φ02（铅直向上）0（水平向右）00an(m·s－2)at(m·s－2)v(m·s－1)φ(rad)t(s)04πl016πl20216π§6-2刚体绕定轴的转动2、运动方程tf转轴：两点连线刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。转角：单位:弧度(rad)1、定义3、角速度和角加速度角速度ddddtt：大小方向：逆时针为正22ddddtt角加速度d0dt0t匀速转动0200dcontd12tttt匀变速转动n与的关系为:30π60π2nn§6-3转动刚体内各点的速度和加速度2、速度vsRR1、点的运动方程sR速度分布图结论:在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。2tantnaa2224tnaaaR结论:在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度a的大小与该点到轴线的垂直距离成正比，方向与半径间的夹角都相同。3、加速度Rstvatdd2221RRRvan加速度分布图思考1：试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和加速度。)(2121ABOOBOAOvMvNaNaM思考2：试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和加速度。)(2121ABOOBOAOvMaMtaMn滑轮的半径r=0.2m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A（如图），已知滑轮绕轴O的转动规律=0.15t3，其中t以s计，以rad计，试求t=2s时轮缘上M点和物体A的速度和加速度。AOαωM首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度245.0tt9.0代入t=2s，得,srad8.11－2srad8.1－轮缘上M点上在t=2s时的速度为sm36.01－rvMvMAOαωM解：AOαωM加速度的两个分量vM2tsm36.0－ra22nsm648.0－ra总加速度aM的大小和方向sm741.022n2t－aaaM,556.0tan229atanaM1sm36.0－MAvv2tsm36.0－aaA它们的方向铅直向下。OαAωMvMatanavAaA〔例〕已知：重物A的2m/s1Aa（常数）初瞬时速度m/s5.10v方向如图示。求：,m5.0Rm30.r①滑轮3s内的转数；②重物B在3s内的行程；③重物B在ｔ＝3s时的速度；④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。例3：O1A=O2B=2r，0为常量，齿轮1固结在直杆AB上，带动齿轮2绕O轴转动，两齿轮的半径均为r，且O1O2=AB，求：轮1和轮2轮缘上任一点的加速度。O1O2AB1200OMO1O2AB1200OaAvAaMvMMaNvNN运动分析AB杆作平动§6-４轮系的传动比１、齿轮传动①啮合条件1122ABRvvR②传动比12212211RziRz２、带轮传动1122AABBrvvvvr121221rir减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮Ⅱ和Ⅲ安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为z1=36，z2=112，z3=32和z4=128，如主动轴Ⅰ的转速n1=1450r﹒min－1，试求从动轮Ⅳ的转速n4。n1ⅣⅠⅡⅢ解：用n1，n2，n3和n4分别表示各齿轮的转速，且有32nn应用齿轮的传动比公式，得,122112zznni344334zznni将两式相乘，得31424231zzzznnnn因为n2=n3，于是从动轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传动比为4.1231424114zzzznni由图可见，从动轮Ⅳ和主动轮Ⅰ的转向相同。最后，求得从动轮Ⅳ的转速为minr11711414－innn1ⅣⅠⅡⅢ§6-5以矢量表示角速度和角加速度1、角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量ddt大小作用线沿轴线滑动矢量指向右手螺旋规则k角加速度矢量ddddkktt2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度ddddvarttddddrrttrvtartnaasinrRvvr大小方向右手法则速度加速度M点切向加速度()navrM点法向加速度例刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O,角速度矢为。5sin5cos5322ttijk求：t=1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及加速度矢。1031510ijkddarvrvt15753200752ijk解：角速度矢量nM点相对于转轴上一点M0的矢径010,7,112,1,38,6,8MMrrr0.60.480.6486868ijkvrnrjk0.60.480.64n其中（，，）求：刚体上点M（10，7，11）的速度矢。例某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢的方向余弦为0.6，0.48，0.64，角速度的大小ω=25rad/s。