高等数学导数与微分ppt

第四节隐函数和参数方程求导相关变化率一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率第二章导数与微分一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化(即写成y=f(x)的形式).函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)y解:我们把方程两边分别对x求导数,注意y=y(x),即遇到y时要将它看作x的函数，得所以0exyeydxdy例1.求由方程确定的隐函数的导数.从而)0(yyexexydxdy上式右端分式中的y=y(x)是由方程所确定的隐函数.0exyey例2.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因x=0时y=0,故确定的隐函数例3.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为233y43)2(x即另解：从椭圆方程解出y=f(x)，求在已知点的导数。例4.解:应用隐函数的求导方法,得于是再对x求导,得上式右端分式中的y=y(x)是由方程所确定的隐函数.求由方程所确定的隐函数的二阶导数0sin21yyx.22dxyd例5.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导yy1xxlncosxxsin)sinlncos(sinxxxxxyx对数求导法1)对幂指函数vuy可用对数求导法求导:uvylnlnyy1uvlnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1注意:或者将化为指数函数再求导.vuyuveyln2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数yln两边对x求导yybalnxaxbbaxln]lnln[xba]lnln[axb例6.求)4)(3()2)(1(xxxxy21lny对x求导21yy41312111xxxx先两边取对数)2ln()1ln(xx)4(ln)3ln(xx11x21x31x41x的导数.)()(|)(|lnxuxuxu可以验证二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则0)(t时,有xyddxttyddddtxtydddd)()(tt0)(t时,有yxddyttxddddtytxdddd)()(tt(此时看成x是y的函数)关系,若上述参数方程中二阶可导,22ddxy))((ddtGx)(2t)()(tt)()(tt)(t)()()()()(3ttttt))((ddtGttxdd)()(ddttxy)(tx且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得)(:tG例7.已知椭圆的参数方程为tbytaxsincos求椭圆在相应的点处的切线方程.4πt解:当时,椭圆上的相应点的坐标是:曲线在点的切线斜率为:由直线的点斜式公式，得椭圆在点处的切线方程化简后得例如，,且,0)(tf求.dd22xyddxy)(tft)(tf,tdd22xy1)(tf已知解:xydd;1t22ddxy21tt31t解:注意:再例，求.dd22xy)()()(tftftytfxtyd/dtxd/d例8.抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.解:先求速度大小.速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小2221)(gtvv再求速度方向(即轨迹的切线方向):设为切线倾角,xyddtyddtxdd则yxo抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出(即t=0)时,倾角为12arctanvv达到最高点的时刻,2gvt高度落地时刻抛射最远距离速度的方向yxo2vtg22vtg例9.计算由摆线的参数方程所确定的函数y=y(x)的二阶导数.解:三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率例10.当气球高度为500m时,其速率为,minm140求此时观察员视线的仰角增加率是多少?500h解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为,则tan500h两边对t求导2sectddthdd5001已知,140dd500hth且h=500时,,1tan22tan1sec,2sec2故tdd140500121)minrad/(一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘、连除表示的函数3.参数方程求导法4.相关变化率问题列出依赖于t的相关变量关系式对t求导相关变化率之间的关系式求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式课堂练习,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示：分别用对数求导法求.,21yy答案:21yyy)1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(21xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx1.设2.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得0yxyyey再求导,得2yeyyxey)(02y②当0x时,,1y故由①得ey1)0(再代入②得21)0(ey求①,求解：0ddtxy3.设方程组两边同时对t求导,得作业P111-1121/(2)(4)23/(2)4/(3)5/(2)8/(3)9/(2)*设由方程)10(1sin222yytttx确定函数,)(xyy求解:方程组两边对t求导,得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt2yttycos12dd22tycostydd0)1(2ddttxtyddtxdd试求当容器内水Rhxhr*有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度.解:设时刻t容器内水面高度为x,水的hR231π)(π231xhrxrh])([3π3322xhhhR两边对t求导tVdd22πhR2)(xh,ddtx而,)(π25222xhRhhxhRr故)scm(25dd3tV)scm(π100dd2Rtx体积为V,则