12高等数学教案第十二章微分方程

《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋第十二章微分方程一、教学目标及基本要求1、了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以及积分曲线等概念。2、掌握可分离变量微分方程的解法。3、掌握齐次方程的解法，并知道如何解可化为齐次的方程。4、会用微小量分析法建立微分方程解决应用问题。5、知道解一阶线性微分方程的常数变易法，并掌握一阶非齐次线性方程的通解公式。6、知道一阶非齐次线性方程的通解为对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解之和。7、会用变量代换解伯努利方程。8、掌握判别全微分方程的条件并会用曲线积分求全微分方程的通解。9、知道积分因子的概念并会用积分因子法求一些简单的微分方程的解。10、掌握用降阶法解特殊类型的二阶微分方程。11、了解函数线性无关与线性相关的概念。12、理解二阶齐次线性方程通解的结构与二阶非齐次线性方程通解的结构，并知道n阶线性方程的通解与有类似的结构。13、理解线性方程解的叠加原理。14、掌握求二阶常系数齐次线性方程的通解的方法（欧拉指数法），并了解高阶常系数齐次线性方程的解法。15、会用待定系数法求自由项特殊的两类形式的二阶常系数非齐次线性方程的特解，并写出通解。16、会用叠加原理，求自由项)()()(21xfxfxf+=的二阶常系数非齐次线性方程的特解。二、本章各节教学内容及学时分配第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程2学时第三节齐次方程2学时第四节一阶线性微分方程2学时第五节全微分方程2学时第六节可降阶的高阶微分方程2学时第七节高阶线性微分方程2学时第八节常系数齐次微分方程2学时第九节常系数非齐次微分方程2学时三、本章教学内容的重点和难点1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念；2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法；4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。四、本章教学内容的深化和拓宽：1、分离变量法的理论根据；第十二章微分方程第1页共51页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋2、方向场与几何解释；3、等斜线与图解法；4、常用的变量代换；5、怎样列微分方程解应用题；6、黎卡提方程；7、近似积分法；8、全微分方程的推广；9、二阶齐次方程；10、高阶微分方程的补充；11、刘维尔公式；12、求线性齐次方程的另一个线性无关的解；13、求线性非齐次方程的一个特解；14、常数变易法；15、欧拉公式法。本章的主要参考书目：1、陈兰祥编高等数学同步精讲（下册）北京学苑出版社20032、曹治勋等编高等数学全程指导（下册）沈阳东北大学出版社20033、黄光谷等编高等数学学习指导与习题解析（下册）第二版、武汉华中科技大学出版社2002本章的思考题和习题解下列方程（第1-6题）1、2)0(,)1(==+′+yxyyx2、可微()[]fdxxfeexfxxx,)(02∫+=3、21222sin22sin1Xeyxyyx++=′•+4、0)3(24=+−xydxdyxy5、21)0(,1)0(,022−=′==′+′′yyyxy6、2yyyxy′−′+′=7、已知可微函数满足)(xf∫−=+xxffxfxxfdxxf12)()1(,1)()()(和求；8、已知)(,,1)(21)(10xffxfdaaxf求可微+=∫；9、求与曲线族相交成角的曲线；Cyx=+2232D4510、一容器的容积为100L，盛满盐水，含10kg的盐，现以每分钟3L的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？第一节习题12—11（1）（3）（5）、2（1）（3）、3、4、5（2）第二节习题12-21（1）（3）（5）（7）（9）、2（1）（3）（5）3、5、6第三节习题12-31（2）（4）（6）（8）、2（1）（3）3、4、（2）（4）第四节习题12-41（2）（4）（6）（8）2、3、4第五节习题12-51（2）（4）（6）（8）2、3、4第六节习题12-61（2）（4）（6）（8）（10）、2（2）（4）（6）、3、4．第十二章微分方程第2页共51页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋第七节习题12-71、2、4（2）（4）（6）、5、6第八节习题12-81（2）（4）（6）（8）（10）2（2）（4）（6）4、5第八节习题12-91（2）（4）（6）（8）（10）、2（2）（4）、4、5、6第十二章微分方程第3页共51页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋第一节微分方程的基本概念一、内容要点：先从实例引入建立几个微分方程的模型，引入微分方程的一系列概念；常微分方程：常微分方程的阶数、解、通解、全部解、特解、积分曲线族的定义；二、教学要求和注意点了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以及积分曲线讲稿内容常微分方程有深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。方程这一概念我们已见过多次，在初等数学中，学过代数方程、三角方程、指数方程、对数方程等，这些方程有一个共同的特点，作为未知量而要求的是一个或几个特定的值。但在高等数学中，常常需要研究的是另一种性质上完全不同的方程，这类方程，作为未知而要求的已经不是一个或几个特定的值，而是一个函数，这类方程称为函数方程。如高等数学中隐函数问题就是在一定条件下，由方程确定隐函数(,)0Fxy=()()yxxyϕψ==或，它是函数方程中昀简单的一种。但在稍微复杂一点的运动过程中，反映运动规律的量与量之间的关系不象隐函数那样可以直接写出量与量之间的关系，而需用变量和它们的导数才能写出来。我们先看两个具体实例，然后介绍微分方程的基本概念。例1已知一条曲线过点，且在该曲线上任意点处的切线斜率为，求此线的方程。)1,0(),(yxMx2解：设所求曲线为，则)(xyy=xdxdy2=，1)0(=y积分得（c为任意常数），把条件cxy+=21)0(=y代入上式得，故所求曲线的方程为1=c12+=xy例2设质量为m的物体，在时间0=t时自由下落，在空气中受到的阻力与物体的下落速度成正比，求物体下落距离与时间的关系。解：建立坐标系：选初始点为坐标原点，垂直向下为x轴。建立运动方程：设x为物体下落的距离，于是物体下落的速度和加速度分别为dtdxv=和22dtxda=，根牛顿第二定律maF=，可列出方程22dxdxmmgkdtdt=−(1.2)第十二章微分方程第4页共51页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋其中为一正比例常数，右端第一项的负号表阻力与速度kdtdx的方向相反，于是问题归结为求满足上述方程的未知函数的问题。)(tx我们现在只考虑的情形，即物体在真空中下落无阻力，此时(1.2)变成0=kgdtxd=22为了求出物体下落的距离，将上式积分两次，得到21221ctcgtx++=其中及为两个常数，考虑自由下落物体的初始状态，由于选取物体的初始位置为坐标原点，所以，又由于物体为自由下落，所以初始速度，将这两个条件代入上述两式，可解得，分别为：，，于是，自由下落物体的距离公式为1c2c0)0(=x0)0(/0==xv1c2c01=c02=c221gtx=例3物理冷却过程的数学模型将物体放置于空气中，在时刻0t=时，测量得它的温度为，10分钟后测量得温度为，我们要求决定此物理体的温度u和时间t的关系，并计算20分钟后物体的温度。假设此时空气的温度保持为uC。0150uC=D1100u=DC=D24a解：求解该问题，需要用到冷却定律：在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。设t时物体的温度为，则温度的变化速度可以表示为()utdudt，由于温度总从高到低，因此0dudt，由冷却定律知：(())adukutudt=−−求解该方程得()ktCautue−+=+利用初始条件：01010150,100ttuuuu======得0.05124126tue−=+从这个式子可以知道lim24tu→∞=，也就是说经过充分长的时间后，物体将冷却与空气中的温度一样。事实上，当3t=小时时，，与空气的温度几乎一样。24.01u=DC第十二章微分方程第5页共51页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋从这个例子可以大体看出用微分方程解决实际问题的基本步骤：（1）建立数学模型，即建立反映这个实际问题的微分方程（2）求解微分方程（3）用所求得的结果解释实际问题，从而预知某些物理过程的特性。上述几例中的方程有一个共同特性，它们都是含有未知函数的导数，这种含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，下面就微分方程的基本概念作逐一介绍。1.微分方程含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。微分方程又分为常微分方程与偏微分方程。若微分方程中，未知函数只是一个自量的函数，称为常微分方程，若未知函数是两个或两个以的自变量的函数，称为偏微分方程。如：，，，xyy=/0)(2=++xdxdtxtxeyyy=−+32///(3)(4)32()lnyyy′′′−=y22220,0uuuuxyxyxy∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂2.微分方程的阶方程中含有未知函数的导数的昀高阶数。如上面例子。一阶常微分方程的一般形式可以表为：0（隐式方程）),,(/=yyxF如果能对y′解出，则得到方程：)（显式方程）,(/yxfy=也可写为0),(),(=+dyyxNdxyxM（对称式方程）一般地,n阶隐式方程的一般形式为0),,,,()(///=⋅⋅⋅nyyyyxFn阶显式方程的一般形式记为),,,()1(/)(−⋅⋅⋅=nnyyyxfy3.线性和非线性若微分方程对未知函数及其出现的各阶导数而言是一次的有理整式，则此微分方程称为线性微分方程，否则称为非线性微分方程。线性微分方程的一般形式为：()(1)11()()()()nnnnyaxyaxyaxyfx−−′++++=4微分方程的解设函数()yxϕ=在区间(内有定义，且它的1至n阶导数存在，若,)ab()(),(),()nttϕϕϕ′′′t(,)xab∀∈有成立，则称()(,(),,())0nFxxxϕϕ′=()yxϕ=在区间(,内是方程的解，而区间(,称为解)ab0),,,,()(///=⋅⋅⋅nyyyyxF)ab()yxϕ=的存在区间。例是二阶微分方程在(－∞,+∞)上的解。xcxcysincos21+=0//=+yy例是的解。cxxy+=2222/2yxxyy+=第十二章微分方程第6页共51页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋在上面所给函数中的任意常数取特殊值也是方程的解。为区分这两种解，我们定义通解与特解。5微分方程的通解在微分方程的解中，有些含有任意常数，有些不含任意常数。把含有n个相互独立的任意常数ncccc⋅⋅⋅321,,的解),,,(21ncccxy⋅⋅⋅=ϕ，称为n微分方程的通解。不含任意常数的解，称为微分方程的特解。例4为一阶微分方程的通解。xcey=yy=/xcxcycossin21+=为二阶微分方程y″+y=0的通解。6初值问题微分方程解的存在性和唯一性是微分方程理论的核心问题，由于通解中含有任意常数，往往为了获得n阶微分方程的一个唯一解，有必要加上n个条件用于确定通解中的n个未知常数的值。确定了通解中任意未知常数的值后所得的解称为微分方程的特解，用于确定通解中未知常数值的条件称为初始条件。一般n阶微分方程的初始条件用给定解及其前n-1阶导数在固定初始点的值来表述，即：10)1(10/00)(,)(,)(−−=⋅⋅⋅==nnyxyyxyyxy求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题。阶微分方程的初值问题常记为：n⎩⎨⎧=⋅⋅⋅===⋅⋅⋅−−10)1(10/00)(/)(,)(,)(0),,,(nnnyxyyxyyxyyyyxF例5求方程的满足0//=+yy1)4(,1)4(/−==ππyy的解解：由例4可知，方程的通解为：xcxcycossin21+=，求导后为将初始条件代入，得到方程组：xcxcysincos21