第二章-关联函数与场的相干性

1第二章关联函数与场的相干性主要是解决一个问题：关联函数与场的相干性的关系问题回忆2.1：在第一节主要是讲一阶关联函数与光的相干性的问题光的相干性的经典解释：就是能产生干涉，光相干性就好，可见度V=1极大值，相干性介于0V=1。比如激光，比如单色光。自然光不能干涉，就说相干性差，甚至说没有相干目前的光探测器都是基于光电效应的原理，光场的量子特性通过光电效应的量子特性体现出来。对于大多数探测器，基本上是只发生光的吸收过程，即吸收一个光子，同时产生一个光电子。现以量子化的行波场为例：),(ˆ),(ˆ)1()](ˆ)(ˆ[2])(ˆ)(ˆ[2),(ˆ)()(,0,0trEtrEkretataVieetaetaVitrEskkskskskskksikrksikrkskE（+）为电磁场的正频项，他只包含电场的湮灭算符，而E（-）称为电磁场的负频项，他只含有产生算符。在光的吸收过程中，只有场的正频项起作用，因而，探测过程在E（+）与E（-）之间就引入了一个不对称性，一直以来人们实际上探测到的是场正频部分的算符E（+），而不是整个场算符E（-），这正是光场测量的量子理论与经典理论的根本区别。为此，探测某个光场的量子理论结果为：)},(ˆ),(ˆˆ{),(ˆ),()()(2)(trEtrETrtrEtrIff从关联函数的定义去解释：(以双缝干涉为例)S1r2),(ˆ),(ˆ)1()](ˆ)(ˆ[2])(ˆ)(ˆ[2),(ˆ)()(,0,0trEtrEkretataVieetaetaVitrEskkskskskskksikrksikrksk(+)表示场的正频部分，与湮灭算符有关，（—）表示场的负频，对应产生算符部分222222)(2111111)(1)/,()},(ˆ,)/,(),(ˆScStrEtrEScStrEtrE)],(ˆ)(ˆ[1),(ˆ),(ˆ)},(ˆ2)(21)(122)(211)(1)(xExERtrEtrEtrEp假定RSS21)}(ˆ)(ˆˆ{),(),(),(Re2),(),()],(Re2),(),([1)](ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ[1)},(ˆ),(ˆˆ{),(2)(1)(21)1(21)1(21)1(22)1(11)1(21)1(22)1(11)1(1)(12)(22)(21)(12)(22)(21)(11)(1)()(xExETrCosxxGxxGxxGxxGxxGIxxGxxGxxGRxExExExExExExExETrRtrEtrETrtrI归一化：),(),(),(),(22)1(11)1(21)1(21)1(xxGxxGxxGxxg与经典干涉对比，当x1和x2相等时，其实g反映的就是可见度，为此可以说，g越大，相干性越好，同时注意，根据正定性条件有：S23),(),(),(0),(22)1(11)1(221)1(21)1(xxGxxGxxGxxG所以有：0≤g（1）≤1举例：对单模行波场:)()(0)(ˆˆ2),(ˆtkritkrieaiKeaVitrE1)对Fock态：)]1()([2)]1()([2)()(22)(11)(21)1(22)1(22)()(11)(11)(11)1(22122122111111ˆˆˆˆ)(),(ˆ),(ˆ),(),(ˆˆˆˆ)(),(ˆ),(ˆ),(ttrrkittrrkitkritkritkritkrineKnaaneKneaiKeaKinntrEtrEnxxGxxGnKnaanKneaiKeaKinntrEtrEnxxG显然：1),(21)1(xxg2)对相干态：)]1()([22)]1()([2)()(22)(11)(21)1(22)1(222)()(11)(11)(11)1(22122122111111ˆˆˆˆ)(),(ˆ),(ˆ),(),(ˆˆˆˆ)(),(ˆ),(ˆ),(ttrrkittrrkitkritkritkritkrieKaaeKeaiKeaKitrEtrExxGxxGKaaKeaiKeaKitrEtrExxG显然：1),(21)1(xxg所以从一阶关联函数的角度看，光子数态和相干态的相干性是一样的，也即从干涉的角度看是一样的，我们叫经典方法。但是，从量子角度看，应该有所不同，否则，我们量子光学对这一问题的了解就该结束？为什么？因为它的光子数分布就不同，它的不同体现在下面的讨论中。2.2二阶关联函数一、二阶关联函数的背景及定义：关于二阶关联函数的问题，我们首先要提到HBT实验，它一直被称其为量子光学的奠基性实验（Birthofquantumoptics）,因为它打破了传统关于相干性即4为能产生干涉的概念。说到这里，我们还得提到另一个人，Glauber，那么他被成其为fullquantumtheorydevelopedbyGlauberRadiostars:R.HanburyBrownandR.Q.Twiss,ANewTypeofInterferometerforUseinRadioAstronomy,PhilosophicalMagazine(7)45p663(1954)Optical:R.HanburyBrownandR.Q.Twiss,ATestofaNewTypeofStellarInterferometeronSirius,Nature178p1046(1956)HBT实验的最初想法是，探测来自星球的信号（主要是干涉信号），因为弱，另外，对星球来说，距离地球很远，所以用传统的干涉，很容易受到大气干扰（距离不稳定对应相位不稳定），所以就产生了这一想法，探测强度信号，其工作原理与图，2探测器接收来自星球的强度信息，然后再将信号相乘，结果是，虽然相位信息丢失，但是依然观察到信号，叫做强度干涉信号。比较他与双缝干涉的差别：51）探测器1到2;2）信号相加变为信号相乘;3）将场的关联（E）变为强度(I)关联;4）由相位函数变为时间函数；5）导致干涉发生质的变化？什么变化？下面我们从理论推倒出发.6t其测量结果为：),(),(),(),(),(),())(,(),((),(),(),(2121221121trItrItrItrItrItrItrItrItrItrIttD),()()()()()()()()()},(),(ˆ{)()(),(21)2(****xxGtEtEtEtEtEtEtEtEtrItrITrtItIttC这里为了配合后面的量子习惯用法，或者探测原理，把打*号的放（负频部分）最前面称其为二阶关联函数归一化：),()()()()()()(21)2(**xxgtItItEtEtEtE二：二阶关联函数的特性：1）当延时为0，根据0)()()()()(22221221yxtItItItI则有：)()(22tItI所以有)0(1)2(g2）对延时不为0的情况，那么可能的结果为)(0)2(g7但根据柯西不等式：...][....][2222zyxxyz（经典统计）所以有)0()()2()2(gg------经典场特性（这就叫聚束效应）如果：)0()()2()2(gg我们就叫量子效应（反聚束效应）--------这2点构成经典与非经典场的判据三、讨论二阶关联函数的重要性，对比一阶情况那么下面我就回到二阶关联函数的特点上：举例：1）Fock态：),(ˆˆˆˆ)(),(ˆ),(ˆ),()2)(1(ˆˆˆˆˆˆˆ)(ˆ)(),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(22)1(22)()(11)(11)(11)1(44)()()()(11)(22)(22)(11)(11)2(1111112122211xxGnKnaanKneaiKeaKinntrEtrEnxxGnnnKnaaaanKneaiKeaiKeaKieaKinntrEtrEtrEtrEnxxGtkritkritkritkritkritkri所以当n大于等于2时，nnKnKnnKxxg11)1(),(22421)2(当n=1时，),(1ˆˆ11ˆˆ)(11),(ˆ),(ˆ1),(00ˆˆ01ˆˆˆˆ11ˆˆˆ)(ˆ)(11),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ1),(22)1(22)()(11)(11)(11)1(44)()()()(11)(22)(22)(11)(21)2(1111112122211xxGKaaKeaiKeaKitrEtrExxGaanKaaaaKeaiKeaiKeaKieaKitrEtrEtrEtrExxGtkritkritkritkritkritkri所以有：0),(21)2(xxg当n=0时，800ˆˆ00ˆˆ)(00),(ˆ),(ˆ0),(00ˆˆˆ)(ˆ)(00),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ0),(2)()(11)(11)(11)1()()()()(11)(22)(22)(11)(21)2(1111112122211aaKeaiKeaKitrEtrExxGeaiKeaiKeaKieaKitrEtrEtrEtrExxGtkritkritkritkritkritkri这时??),(21)2(xxg结论：对n≥2的场，g21,不满足第一条，所以是非经典场）；对n=1的场，g2=0,不满足第一条，所以是非经典场；另外要注意n=0时，g2=0的情况，此时的值与单光子类同，在实际操作和实验中必须有鉴别方法。这就是为什么大家都知道的单光子的二阶关联度越接近于0越好的问题，当然实际中不可能完全等于零，为什么？（=0都和能量不是无限值有关）思考一下这个问题。另外要注意n=0时，g2=0的情况，此时的值与单光子类同，在实际操作和实验中必须有鉴别方法。2）相干态：（经典场的2个特性都满足）),(ˆˆˆˆ)(),(ˆ),(ˆ),(ˆˆˆˆˆˆˆ)(ˆ)(),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(22)1(222)()(11)(11)(11)1(444)()()()(11)(22)(22)(11)(11)2(1111112122211xxGnKaaKeaiKeaKitrEtrExxGKaaaaKeaiKeaiKeaKieaKitrEtrEtrEtrExxGtkritkritkritkritkritkri所以1),(22224421)2(KKKxxg相干态的二阶关联度依然为一，满足判据第一条的最低极限值，这是一个证据说明相干态是经典场，准确地说是经典与非经典的界限。另外：从这2个态可以看出，它们的二阶关联函数和时间没关系。这是因为单模、纯态，把指数因子全部消掉所造成的。课后作业：1、继续关于Fock态和相干态gtwo的计算，并对结果进行讨论和区别，不知道第一章又没有讲到压缩态，有的话，压缩态的gtwo也要计算，并分析特点；2、对比双缝干涉和HBT实验，得出你自己的一些相同和不同的看法。92.3经典和量子关联函数补充内容：在开始这一章节的讲述之前，我要提一下，关于书本里提到的量子关联函数和经典关联函数，事实上，我们在推导过程中，一直用的是关于量子化的场，所以有理由说我们的推导已经是量子关联函