《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)

《复变函数》试卷第1页（共4页）《复变函数》试卷第2页（共4页）XXXX学院2016—2017学年度第一学期期末考试复变函数试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。）1.)iRe(z()A.)iRe(zB.)iIm(zC.zImD.zIm2.函数2)(zzf在复平面上()A.处处不连续B.处处连续，处处不可导C.处处连续，仅在点0z处可导D.处处连续，仅在点0z处解析3.设复数a与b有且仅有一个模为1，则baba1的值()A.大于1B.等于1C.小于1D.无穷大4.设xyzfyxzi)(i，，则)(zf()A.i1B.iC.1D.05.设C是正向圆周1z，i2sindzzzCn，则整数n等于()A.1B.0C.1D.26.0z是21)(zezfz的()A.1阶极点B.2阶极点C.可去奇点D.本性奇点7.幂级数!2)1(0nznnnn的和函数是()A.zeB.2zeC.2zeD.zsin8.设C是正向圆周2z，则Czdz2()A.0B.i2C.iD.i29.设函数)(zf在)0(00RRzz内解析，那么0z是)(zf的极点的充要条件是()A.azfzz)(lim0（a为复常数）B.)(lim0zfzzC.)(lim0zfzz不存在D.以上都对10.zln在1z处的泰勒级数展开式为()A.11,1)1()1(11znznnnB.11,)1()1(1znznnnC.11,1)1()1(10znznnnD.11,)1()1(0znznnn二、填空题(本大题共5小题，每题3分，共15分)11.i21z的共轭复数z________.12.设)i2)(i32(z，则zarg________.13.在复平面上，函数)2(i)(222yxyxyxzf在直线________上可导.14.设C是正向圆周1z，则dzzzC5cos________.15.若级数1nnz收敛，而级数1nnz发散，则称复级数1nnz为________.学号（最后两位）总分题号一二三四统分人题分30203030复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人系别专业姓名班级学号和姓名务必正确清楚填写。因填写错误或不清楚造成不良后果的，均由本人负责；如故意涂改、乱写的，考试成绩视为无效。答题请勿超过此密封线，否则视为无效。《复变函数》试卷第3页（共4页）《复变函数》试卷第4页（共4页）三、计算题(本大题共5小题，每小题8分，共40分)16.利用柯西-黎曼条件讨论函数zzf)(的解析性.17.判断数列1i2017nnzn的收敛性.若收敛，求出其极限.18.求在映射2zw下，z平面上的直线tz)i2(被映射成w平面上的曲线的方程.19.求ze在0z处的泰勒展开式.20.计算积分dzzi102.三、证明题(本大题共1小题，每小题15分，共15分)21.试证明柯西不等式定理:设函数)(zf在圆RzzC0:所围的区域内解析，且在C上连续，则,...)2,1(!)(0)(nRMnzfnn其中M是)(zf在C上的最大值.得分评卷人复查人得分评卷人复查人《复变函数》试卷第5页（共4页）《复变函数》试卷第6页（共4页）XXXX学院2016-2017学年度第一学期期末考试复变函数答案（A卷）一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1－5CCBBD6-10ACABC二、单项选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）11.i2112.8arctan13.21y14.i215.条件收敛三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）16.解：因yxzzfi)(，故yyxvxyxu),(,),(，从而,1,0,0,1yuxuyuxu因此在任何点),(yx处，yvxu，所以)(zf在复平面内处处不解析。17.解：i1120161i1602nnnnnzn而)(11012016nnnn，所以ilimnnz18.解：直线tz)i2(的参数方程为)(,2ttytx在2zw映射下，该直线被映射成w平面上的曲线2222)i43()i2(ttzw于是,4,322tvtu消去t，得)0(34uuv这是w平面上第一象限内的一条半直线。19.解：因为,...)2,1,0()()(neeznz，其展开式中泰勒系数为!1!)0()(nnfcnn于是ze在0z处的泰勒展开式为!!21!0nzzznzennnnz20.解：）（）（i132i131|313i103i102zdzz五、证明题（本大题15分）21.证：由假设条件及高阶导数公式，有,...)2,1()()(i2!)(100)(ndzzzzfnzfCnn于是,...)2,1(!22!,...)2,1()(2!)(11100)(nRMnRRMnndzzzzfnzfnnCnn证毕。