2.1-数列的概念与简单表示法(第一课时)

数列的概念与简单表示法（一）第二章数列罗定实验中学陈伟生1.通过实例，了解数列的概念和简单表示法.（重点）2.了解数列是一种特殊的函数，体会数列是反映自然规律的数学模型.1.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”的含义是什么？11如果将初始量看成1，取其一半剩，再取一半还剩，24111...，如此下去，即得到1，，，，...248…2.三角形数136103.正方形数14916定义：按一定顺序排列的一列数叫数列。项数有限的数列叫做有穷数列项数无限的数列叫做无穷数列数列中的每一个数叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，······，第n项，······。数列的项逐渐减小——递减数列（1）1，1/2，1/3，…，1/n，…（2）1，3，5，…，2n-1，…数列的项逐渐增大——递增数列指出下面数列的特征：（4）3，3，3，3，…（3）-1，2，-3，4，-5，…摆动数列常数列其中右下标n表示项的位置序号，上面的数列又可简记为na数列的一般形式可以写成：注意：表示一个数列.项，表示第nnana,,,321aaa,,na……？aa：nn一样吗与问}{对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数（项）an与之对应.项数n1234……64项an122223……263（自变量）（函数值）数列与函数数列是一种特殊的函数这组对应关系为：)63,(,2*1nNnann的式子来表达可以用就是说明nanfann)(12345123450-1我们好孤单！数列的项an与它对应的序号n能否用一个公式来表示呢？图象作出常数数列：,4,4,4,4图象，，，，作出摆动数列：11-11-nan2nan1如数列2,4,6,…,2n,…如数列,,,,,514131211,,n1……数列的项数n与项an之间的关系如果可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。数列通项公式之间的函数关系式与通项公式就是nan通项公式例1:根据下面数列的通项公式，写出前5项.(1);1nnan(2)(1)nnan1(3)(1)nnan,21),1(1a,1),2(1a5,4,3,2,1),3(54321aaaaa！：nn列隔项出现负号作为项的糸数可以使数或用注意1)1-()1-(,322a65,54,43543aaa,22a5,4,3543aaa。nn也叫做符号因子或1)1-()1-(例2：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：;0,2,0,2)2(;41,31,21,1)1(nann1)1()1(1)1()2(1nnanna)1(1或为偶数为奇数或nnan,0,2故通项公式不唯一！练1：写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；解：此数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以通项公式是：12nan（2）;515,414,313,2122222解：此数列的前四项的分母都是序号加1，分子都是分母的平方减去1，所以通项公式是：121112nnnnnan（3）.541,431,321,211解：此数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是：11nnann638,356,154,32)4(解：此数列的前四项的分子都是序号的2倍，分母都是序号的2倍的平方减去1，所以通项公式是：1)2(22nnan练2、写出下列数列的通项公式：（1）10，100，1000，10000；（2）0.1，0.01，0.001，0.0001；（3）9，99，999，9999，101nna110nna（4）6，66，666，6666,...)110(32nna（6）0.7，0.77，0.777，0.7777,...)101(97nnanna10（5）0.9，0.99，0.999，0.9999,...nnna10101已知无穷数列7，4，3，…，，…nn6（1）求这个数列的第10项；（2）是这个数列的第几项？（3）这个数列有多少个整数项？（4）有没有等于序号的的项？如果有，求出这些项；如果没有，试说明理由。505331探究·拓展581016)1(10a100,65053)2(nnnan得由.,2,3,4,7,6166)3(6321只有这四项为整数aaaannnnnnan2),(36,0183,631)4(62annnnnnann符合题意的项为舍去或得由例3：图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形。在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式。11a32a93a274a13nna对应练习.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第5个图案中有白色地面砖的块数是______.61a10462a144103a22例4、已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，求该数列中的数值最大的项．[错解]错解一：an＝－2n2＋21n＝－2(n－214)2＋4418，∴an的最大值为4418，∴该数列中数值最大的项为4418.错解二：an＝－2n2＋21n＝－2(n－214)2＋4418，∵n∈N*，∴n＝5或6时，an最大，∴该数列中数值最大的项为第5项或第6项．[辨析]错解一注意到了数列是函数可用二次函数求最值的方法，求数列中的最大(小)项，但忽视了数列中，自变量n只能是正整数，n取不到214.错解二注意到了数列是特殊的函数，运用二次函数求最值的方法，求数列中的最大(小)项也注意到了n∈N*，但没注意到n＝5和n＝6时，哪一个距离n＝214更近，从而找出最大项，另外把求最大项的值误为求最大项的的项数．[正解]an＝－2(n－214)2＋4418，∵n∈N*，∴当n＝5或6时an最大，∵a5＝55，a6＝54，∴数值最大的项为第5项，最大值为55.解法一：∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94，可知对称轴方程为n＝52＝2.5.又∵n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.解法二：设第n项最小，由an≤an＋1，an≤an－1，得n2－5n＋4≤n＋12－5n＋1＋4，n2－5n＋4≤n－12－5n－1＋4，解这个不等式组，得2≤n≤3，∴n＝2或3，∴a2＝a3且最小．∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.[对应练习]已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.n为何值时，an有最小值？并求出最小值.2()22,{}(log)2{}xxnnnfxafana2.已知函数数列满足:求数列的通项公式课后思考题：nnan12本节课学习的主要内容有：1.数列的有关概念；2.数列的通项公式；3.数列的实质；4.本节课的能力要求是：(1)会由通项公式求数列的任一项；(难点是求最值项)(2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式.注意：①一些数列的通项公式不是唯一的②不是每一个数列都能写出它的通项公式③序号。表示项的位置项，其中中的第数列表示这个；而，，，，数列表示为通项的数列，即表示以nnaaaaaaaaannnnnn}{}{}{321